高等数学¶
一、函数与极限¶
1.1 极限的定义¶
当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$：
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
$\varepsilon$-$\delta$ 定义：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < \delta$ 时，$|f(x) - L| < \varepsilon$。
1.2 极限的性质¶
- 唯一性：极限若存在则唯一
- 局部有界性：若 $\lim f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界
- 保号性：若 $\lim f(x) = A > 0$，则在 $x_0$ 附近 $f(x) > 0$
1.3 重要极限¶
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$
1.4 无穷小与无穷大¶
- 等价无穷小（$x \to 0$ 时）：
- $\sin x \sim x$
- $\tan x \sim x$
- $\arcsin x \sim x$
- $\ln(1+x) \sim x$
- $e^x - 1 \sim x$
- $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
1.5 洛必达法则¶
若 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
二、导数¶
2.1 导数的定义¶
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
几何意义：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。
2.2 常用导数公式¶
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
2.3 求导法则¶
- 四则运算：$(u \pm v)' = u' \pm v'$，$(uv)' = u'v + uv'$，$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
- 链式法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
- 隐函数求导：方程两边同时对 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $y(x)$
- 参数方程求导：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
2.4 高阶导数¶
$$f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n}$$
常用高阶导数： - $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$ - $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$ - $(ex) = e^x$
2.5 微分中值定理¶
| 定理 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 罗尔定理 | $f(a)=f(b)$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导 | 存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$ |
| 拉格朗日 | $f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导 | 存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ |
| 柯西中值 | $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，$g'(x)\neq 0$ | $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ |
三、积分¶
3.1 不定积分¶
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C \quad \text{其中 } F'(x) = f(x)$$
3.2 常用积分公式¶
| 积分 | 结果 |
|---|---|
| $\int x^n dx$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C (n \neq -1)$ |
| $\int \frac{1}{x} dx$ | $\ln |
| $\int \cos x dx$ | $\sin x + C$ |
| $\int \sin x dx$ | $-\cos x + C$ |
| $\int \sec^2 x dx$ | $\tan x + C$ |
| $\int e^x dx$ | $e^x + C$ |
| $\int a^x dx$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ | $\arcsin x + C$ |
| $\int \frac{1}{1+x^2} dx$ | $\arctan x + C$ |
3.3 定积分¶
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
几何意义：曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 上围成的曲边梯形面积。
3.4 积分方法¶
换元积分法： $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \quad (u = g(x))$$
分部积分法： $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
有理函数积分：将真分式分解为部分分式之和。
3.5 定积分的应用¶
- 平面面积：$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$
- 旋转体体积：$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$
- 曲线弧长：$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$
- 旋转曲面面积：$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$
3.6 广义积分¶
- 无穷限积分：$\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx$
- 瑕积分：$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) dx$（$a$ 为瑕点）
四、微分方程¶
4.1 基本概念¶
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。阶数是方程中最高阶导数的阶数。
4.2 一阶微分方程¶
| 类型 | 形式 | 解法 |
|---|---|---|
| 可分离变量 | $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ | $\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx$ |
| 齐次方程 | $\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})$ | 令 $u = \frac{y}{x}$ |
| 一阶线性 | $y' + P(x)y = Q(x)$ | $y = e^{-\int P dx}(\int Q e^{\int P dx} dx + C)$ |
| 伯努利方程 | $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ | 令 $z = y^{1-n}$ |
4.3 二阶常系数线性微分方程¶
$$y'' + py' + qy = f(x)$$
齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的通解：
| 特征根情况 | 通解形式 |
|---|---|
| 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$ | $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
| 重根 $r_1 = r_2 = r$ | $y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$ |
| 共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$ | $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$ |
五、多元函数微积分¶
5.1 偏导数¶
$$f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x}$$
5.2 全微分¶
$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$$
5.3 二重积分¶
$$\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
极坐标下的二重积分： $$\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta$$
5.4 多元函数极值¶
- 必要条件：$f_x = 0, f_y = 0$（驻点）
- 充分条件：判别式 $AC - B^2$（$A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$）
- $AC - B^2 > 0$ 且 $A > 0$：极小值
- $AC - B^2 > 0$ 且 $A < 0$：极大值
- $AC - B^2 < 0$：不是极值（鞍点）
- $AC - B^2 = 0$：需进一步判断
5.5 拉格朗日乘数法¶
求 $f(x,y)$ 在约束 $g(x,y)=0$ 下的条件极值：
构造 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y)$，解方程组： $$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda g_x = 0 \ L_y = f_y + \lambda g_y = 0 \ L_\lambda = g(x,y) = 0 \end{cases}$$
六、级数¶
6.1 常数项级数¶
$$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$$
收敛判别法： - 比较判别法：$0 \leq a_n \leq b_n$，$\sum b_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 收敛 - 比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$，$\rho < 1$ 收敛，$\rho > 1$ 发散 - 根值判别法：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$
6.2 幂级数¶
$$\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n$$
收敛半径：$R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
6.3 泰勒级数¶
$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$$
常用麦克劳林展开： - $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ - $\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ - $\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ - $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ - $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$
常用公式速查表¶
| 分类 | 公式 |
|---|---|
| 三角函数 | $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ |
| 倍角公式 | $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ |
| 降幂公式 | $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ |
| 和差化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ |
| 点火公式 | $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx$ |