高等数学

函数与极限

极限的定义

当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$：

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

导数

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

常用导数公式

函数	导数
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x$

积分

$$\int_a^b f(x) \, dx$$

常用积分公式

积分	结果
$\int x^n dx$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\int \cos x dx$	$\sin x + C$
$\int \sin x dx$	$-\cos x + C$
$\int \frac{1}{x} dx$	$\ln