线性代数¶

一、行列式¶

1.1 行列式的定义¶

二阶行列式： $$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

三阶行列式： $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

1.2 行列式的性质¶

行列互换，值不变：$|A| = |A^T|$
某行（列）乘 $k$，值乘 $k$
两行（列）互换，值变号
两行（列）相等或成比例，值为 0
某行（列）加另一行的 $k$ 倍，值不变
某行（列）可拆分成两个行列式的和

1.3 行列式展开（拉普拉斯展开）¶

按第 $i$ 行展开： $$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$$

其中 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 为代数余子式，$M_{ij}$ 为余子式。

1.4 特殊行列式¶

上三角行列式：$|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
范德蒙行列式：$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$

二、矩阵¶

2.1 矩阵的定义¶

$m \times n$ 矩阵是由 $m$ 行 $n$ 列元素组成的矩形数组： $$A = (a_{ij}){m \times n} = \begin{pmatrix} a \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$} & a_{12} & \cdots & a_{1n

2.2 基本运算¶

加法：对应元素相加，要求同型矩阵。

数乘：$kA = (k a_{ij})$

乘法：$(AB){ij} = \sum$，要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。}^{n} A_{ik} B_{kj

矩阵乘法不满足交换律：$AB \neq BA$（一般情况）

2.3 特殊矩阵¶

类型	定义	性质
单位矩阵 $I$	对角线上全为 1	$AI = IA = A$
零矩阵 $O$	所有元素为 0	$A + O = A$
对角矩阵	非对角元全为 0	$\text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$
对称矩阵	$A^T = A$	特征值均为实数
正交矩阵	$A^T A = I$	$A^{-1} = A^T$

2.4 逆矩阵¶

$A$ 可逆 $\iff |A| \neq 0$

性质： - $(A^{-1}) = A$ - $(AB)^{-1} = B^{-1}A$ - $(A^T) = (A^{-1})T$

求逆方法： 1. 伴随矩阵法：$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^$ 2. 初等变换法*：$[A | I] \xrightarrow{\text{行变换}} [I | A^{-1}]$

2.5 矩阵的秩¶

秩是矩阵中最高阶非零子式的阶数。

$r(A) \leq \min(m, n)$
$r(AB) \leq \min(r(A), r(B))$
$r(A) = r(A^T) = r(A^T A)$

三、向量组¶

3.1 向量的线性运算¶

向量加法与数乘满足八条线性运算律。

3.2 线性相关与线性无关¶

线性相关：存在不全为零的 $k_i$ 使 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n = 0$
线性无关：只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$ 时上式成立

判定： - 向量个数 > 维数，必线性相关 - 含有零向量的向量组线性相关 - 向量组线性无关 $\iff$ 行列式非零（方阵）

3.3 极大线性无关组¶

向量组中线性无关且能表示所有向量的部分组。

求法：将向量按列排成矩阵，化为行最简形，主元列对应的向量构成极大无关组。

3.4 向量组的秩¶

向量组的秩 = 极大无关组中向量的个数。 $$r(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s) = r(A)$$

四、线性方程组¶

4.1 齐次线性方程组 $Ax = 0$¶

必有零解
有非零解 $\iff r(A) < n$（未知数个数）
解构成向量空间（解空间），维数 $= n - r(A)$

4.2 非齐次线性方程组 $Ax = b$¶

有解 $\iff r(A) = r(A|b)$
唯一解 $\iff r(A) = r(A|b) = n$
无穷多解 $\iff r(A) = r(A|b) < n$
无解 $\iff r(A) \neq r(A|b)$

4.3 解的结构¶

齐次方程组的通解： $$\eta = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$

非齐次方程组的通解： $$x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$

其中 $\eta^*$ 是一个特解，$\xi_i$ 是导出组的基础解系。

4.4 克莱姆法则¶

对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组 $Ax = b$，若 $|A| \neq 0$，则： $$x_i = \frac{|A_i|}{|A|} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$

其中 $A_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 得到的矩阵。

五、特征值与特征向量¶

5.1 定义¶

$A\alpha = \lambda\alpha$，其中 $\lambda$ 为特征值，$\alpha$ 为特征向量（$\alpha \neq 0$）。

5.2 特征方程¶

$$|A - \lambda I| = 0$$

展开后得到 $n$ 次多项式 $f(\lambda)$，称为特征多项式。

5.3 性质¶

特征值之和 = 迹（对角线元素之和）
特征值之积 = 行列式
不同特征值对应的特征向量线性无关
实对称矩阵的特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交

5.4 相似对角化¶

$A$ 可相似对角化 $\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

步骤： 1. 求特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 2. 求每个特征值对应的特征向量 3. 构造 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ 4. $P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$

5.5 实对称矩阵的对角化¶

实对称矩阵必可对角化，且存在正交矩阵 $Q$ 使 $Q^T A Q = \Lambda$。

六、二次型¶

6.1 二次型的定义¶

$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$

其中 $A$ 为对称矩阵（$A^T = A$）。

6.2 标准形与规范形¶

标准形：通过正交变换或配方法将二次型化为 $d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$
规范形：标准形的系数化为 1、-1、0

6.3 正定二次型¶

正定 $\iff$ 对任意 $x \neq 0$，$x^T A x > 0$

正定判定： - 所有特征值 > 0 - 各阶顺序主子式 > 0 - 存在可逆矩阵 $C$ 使 $A = C^T C$

常用公式速查表¶

公式	说明
$(AB)^{-1} = B^{-1}A$	乘积的逆
$(AB)^T = B^T A^T$	乘积的转置
$r(A) = r(A^T) = r(A^T A)$	秩的关系
$	AB
$	kA
$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$	特征值之和等于迹
$\prod \lambda_i =	A