高等数学（六）微分方程¶

章节概述¶

微分方程是包含未知函数及其导数的方程，在物理、工程、生物等领域有广泛应用。本章将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。

学习目标¶

理解微分方程的基本概念和分类
掌握可分离变量微分方程的求解方法
掌握一阶线性微分方程的求解方法
学会求解二阶常系数线性微分方程
了解微分方程的应用

（一）微分方程的基本概念¶

微分方程的定义¶

微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

微分方程的阶¶

微分方程的阶是指方程中出现的最高阶导数的阶数。

微分方程的解¶

满足微分方程的函数称为微分方程的解。

微分方程的分类¶

1. 常微分方程（ODE） 未知函数是一元函数的微分方程。

2. 偏微分方程（PDE） 未知函数是多元函数的微分方程。

3. 线性微分方程 未知函数及其导数都是一次的微分方程。

4. 非线性微分方程 未知函数或其导数不是一次的微分方程。

微分方程的解¶

通解：含有任意常数的解，独立任意常数的个数等于方程的阶数。

特解：给任意常数赋予特定值后得到的解。

初值问题：求满足初始条件的特解。

微分方程的阶¶

微分方程的阶是指方程中出现的最高阶导数的阶数。

（二）可分离变量微分方程¶

可分离变量方程的形式¶

dy/dx = f(x)g(y)

求解方法¶

分离变量后积分：

∫ (1/g(y)) dy = ∫ f(x) dx

实例分析¶

实例1：求解 dy/dx = x/y

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
C = sp.symbols('C')

# 分离变量
# y dy = x dx
# ∫ y dy = ∫ x dx
# y²/2 = x²/2 + C

# 解析解
y = sp.Function('y')
ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x), x/y(x))
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

实例2：求解 dy/dx = y(1 - y)

# 分离变量
# dy/(y(1-y)) = dx
# 使用部分分式

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x), y(x)*(1 - y(x)))
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

（三）一阶线性微分方程¶

一阶线性微分方程的形式¶

dy/dx + P(x)y = Q(x)

求解方法¶

积分因子法：

计算积分因子 μ(x) = e^(∫P(x)dx)
方程两边乘以 μ(x)
左边变成 [μ(x)y]'
积分求解

通解公式：

y = e^(-∫P(x)dx) · [∫Q(x)·e^(∫P(x)dx) dx + C]

特殊类型¶

1. 齐次方程（Q(x) = 0）

y = Ce^(-∫P(x)dx)

2. 伯努利方程

dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ

令 z = y^(1-n)，化为线性方程。

实例分析¶

实例1：求解 dy/dx + y = e^x

# 这是一个一阶线性微分方程
# P(x) = 1, Q(x) = e^x
# 积分因子 μ(x) = e^(∫1 dx) = e^x

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x) + y(x), sp.exp(x))
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

实例2：求解 dy/dx + 2xy = x

# P(x) = 2x, Q(x) = x
# 积分因子 μ(x) = e^(∫2x dx) = e^(x²)

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x) + 2*x*y(x), x)
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

（四）二阶常系数线性微分方程¶

二阶常系数线性微分方程的形式¶

y'' + ay' + by = f(x)

齐次方程的解¶

如果 f(x) = 0，则方程为齐次方程。解的形式取决于特征方程的根。

特征方程：r² + ar + b = 0

情况1：两个不同的实根 r₁, r₂

y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

情况2：重根 r

y = (C₁ + C₂x)e^(rx)

情况3：共轭复根 α ± βi

y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx)

非齐次方程的特解¶

非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + 特解。

特解的求法（待定系数法）：

f(x) 的形式	特解形式
Pₙ(x)	Qₙ(x)
Pₙ(x)e^(αx)	Qₙ(x)e^(αx)
Pₙ(x)cos βx	Qₙ(x)cos βx + Rₙ(x)sin βx
Pₙ(x)sin βx	Qₙ(x)cos βx + Rₙ(x)sin βx

注意：如果 α（或 ±βi）是特征方程的根，特解需要乘以 x 或 x²。

实例分析¶

实例1：求解 y'' - 5y' + 6y = 0

# 特征方程: r² - 5r + 6 = 0
# 解: r₁ = 2, r₂ = 3

y = sp.Function('y')
ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x, 2) - 5*sp.diff(y(x), x) + 6*y(x), 0)
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

实例2：求解 y'' + y = sin x

# 特征方程: r² + 1 = 0
# 解: r = ±i

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x, 2) + y(x), sp.sin(x))
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

实例3：求解 y'' - 2y' + y = eˣ

# 特征方程: r² - 2r + 1 = (r-1)² = 0
# 重根 r = 1
# 由于 eˣ 的指数1是特征方程的重根，特解形式为 Ax²eˣ

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x, 2) - 2*sp.diff(y(x), x) + y(x), sp.exp(x))
solution = sp.dsolve(ode)
print(f"解析解: {solution}")

（五）微分方程的数值解¶

欧拉方法¶

def euler_method(f, x0, y0, h, x_end):
    """
    欧拉方法求解微分方程

    参数:
        f: dy/dx = f(x, y)
        x0: 初始 x
        y0: 初始 y
        h: 步长
        x_end: 终止 x

    返回:
        tuple: (x_list, y_list)
    """
    x_list = [x0]
    y_list = [y0]

    x = x0
    y = y0

    while x < x_end:
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
        x_list.append(x)
        y_list.append(y)

    return x_list, y_list

改进的欧拉方法（预估-校正法）¶

def improved_euler_method(f, x0, y0, h, x_end):
    """
    改进的欧拉方法

    参数:
        f: dy/dx = f(x, y)
        x0: 初始 x
        y0: 初始 y
        h: 步长
        x_end: 终止 x

    返回:
        tuple: (x_list, y_list)
    """
    x_list = [x0]
    y_list = [y0]

    x = x0
    y = y0

    while x < x_end:
        # 预估
        k1 = f(x, y)
        y_pred = y + h * k1

        # 校正
        k2 = f(x + h, y_pred)
        y = y + h * (k1 + k2) / 2

        x = x + h
        x_list.append(x)
        y_list.append(y)

    return x_list, y_list

龙格-库塔法（四阶）¶

def runge_kutta_4(f, x0, y0, h, x_end):
    """
    四阶龙格-库塔法

    参数:
        f: dy/dx = f(x, y)
        x0: 初始 x
        y0: 初始 y
        h: 步长
        x_end: 终止 x

    返回:
        tuple: (x_list, y_list)
    """
    x_list = [x0]
    y_list = [y0]

    x = x0
    y = y0

    while x < x_end:
        k1 = f(x, y)
        k2 = f(x + h/2, y + h*k1/2)
        k3 = f(x + h/2, y + h*k2/2)
        k4 = f(x + h, y + h*k3)

        y = y + h * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
        x = x + h
        x_list.append(x)
        y_list.append(y)

    return x_list, y_list

实例分析¶

实例：求解 dy/dx = y, y(0) = 1

def f(x, y):
    """微分方程 dy/dx = y"""
    return y

x_list, y_list = euler_method(f, 0, 1, 0.1, 1)

print("数值解:")
for x, y in zip(x_list[::2], y_list[::2]):  # 每隔一个点输出
    print(f"x = {x:.2f}, y = {y:.6f}")

# 理论解: y = e^x
print("\n理论解:")
for x in x_list[::2]:
    y_theoretical = math.exp(x)
    print(f"x = {x:.2f}, y = {y_theoretical:.6f}")

实战练习¶

练习1：求解可分离变量方程¶

求解 dy/dx = x/y², y(0) = 1

# 分离变量: y² dy = x dx
# ∫ y² dy = ∫ x dx
# y³/3 = x²/2 + C

# 使用初始条件: y(0) = 1
# 1/3 = 0 + C, C = 1/3

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x), x/y(x)**2)
solution = sp.dsolve(ode, ics={y(0): 1})
print(f"解析解: {solution}")

练习2：求解一阶线性微分方程¶

求解 dy/dx - y = x, y(0) = 1

# P(x) = -1, Q(x) = x
# 积分因子: μ(x) = e^(-x)

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x) - y(x), x)
solution = sp.dsolve(ode, ics={y(0): 1})
print(f"解析解: {solution}")

练习3：求解二阶常系数微分方程¶

求解 y'' - 4y' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

# 特征方程: r² - 4r + 4 = 0
# 解: r = 2 (重根)

ode = sp.Eq(sp.diff(y(x), x, 2) - 4*sp.diff(y(x), x) + 4*y(x), 0)
solution = sp.dsolve(ode, ics={y(0): 1, sp.diff(y(x), x).subs(x, 0): 0})
print(f"解析解: {solution}")

练习4：数值方法比较¶

def compare_numerical_methods():
    """比较不同数值方法的精度"""
    # 求解 dy/dx = y, y(0) = 1, 理论解 y = eˣ

    def f(x, y):
        return y

    x_end = 1.0
    h = 0.1

    # 欧拉方法
    x_euler, y_euler = euler_method(f, 0, 1, h, x_end)

    # 改进的欧拉方法
    x_improved, y_improved = improved_euler_method(f, 0, 1, h, x_end)

    # 龙格-库塔法
    x_rk4, y_rk4 = runge_kutta_4(f, 0, 1, h, x_end)

    # 理论值
    y_theory = math.exp(x_end)

    print("数值方法比较 (x = 1.0):")
    print(f"理论值: y = {y_theory:.10f}")
    print(f"欧拉方法: y = {y_euler[-1]:.10f}, 误差 = {abs(y_euler[-1] - y_theory):.10e}")
    print(f"改进欧拉: y = {y_improved[-1]:.10f}, 误差 = {abs(y_improved[-1] - y_theory):.10e}")
    print(f"龙格-库塔: y = {y_rk4[-1]:.10f}, 误差 = {abs(y_rk4[-1] - y_theory):.10e}")

compare_numerical_methods()

练习5：实际应用——人口增长模型¶

def population_growth():
    """
    人口增长模型
    dP/dt = rP(1 - P/K)
    其中 r 是增长率，K 是环境容量
    """
    r = 0.1  # 增长率
    K = 1000  # 环境容量

    def logistic_growth(t, P):
        return r * P * (1 - P / K)

    # 初始人口
    P0 = 100

    # 数值求解
    t_list, P_list = runge_kutta_4(logistic_growth, 0, P0, 0.5, 100)

    print("人口增长模型 (Logistic模型):")
    print(f"初始人口: {P0}")
    print(f"增长率: {r}")
    print(f"环境容量: {K}")
    print(f"\n100年后人口: {P_list[-1]:.2f}")
    print(f"理论极限: {K}")

population_growth()

章节小结¶

本章介绍了微分方程的基本概念和求解方法：

微分方程的基本概念：理解定义、阶、解和分类
可分离变量微分方程：掌握分离变量法
一阶线性微分方程：掌握积分因子法
二阶常系数线性微分方程：掌握特征方程法
数值解：了解欧拉方法、改进欧拉方法和龙格-库塔法

微分方程是描述变化规律的重要数学工具。

微分方程类型总结¶

类型	标准形式	求解方法
可分离变量	dy/dx = f(x)g(y)	分离变量后积分
齐次方程	dy/dx = f(y/x)	令 u = y/x
一阶线性	dy/dx + P(x)y = Q(x)	积分因子法
伯努利方程	dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ	令 z = y^(1-n)
二阶常系数齐次	y'' + ay' + by = 0	特征方程法
二阶常系数非齐次	y'' + ay' + by = f(x)	待定系数法

数值方法总结¶

方法	精度	稳定性	计算量
欧拉方法	O(h)	条件稳定	最小
改进欧拉	O(h²)	较好	较小
龙格-库塔	O(h⁴)	好	较大

下一步¶

继续学习第七章：[练习题目](07_exercises.md），巩固所学知识。

重点提醒： - 识别微分方程的类型很重要 - 可分离变量方程是最基本的类型 - 积分因子法是求解一阶线性微分方程的通用方法 - 特征方程法是求解二阶常系数线性微分方程的关键 - 数值方法可以求解无法得到解析解的微分方程