高等数学（三）积分¶

章节概述¶

积分是微积分的另一个核心概念，与导数互为逆运算。本章将介绍不定积分、定积分的概念、计算方法、积分技巧以及积分的应用。

学习目标¶

理解不定积分和定积分的概念
掌握基本积分公式和积分技巧
学会数值积分方法
理解积分的几何意义和应用

（一）不定积分¶

不定积分的定义¶

如果 F'(x) = f(x)，则称 F(x) 为 f(x) 的一个原函数。f(x) 的所有原函数的集合称为 f(x) 的不定积分，记作：

∫ f(x) dx = F(x) + C

其中 C 为任意常数。

基本积分公式¶

序号	积分公式	备注
1	∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C	n ≠ -1
2	∫ 1/x dx = ln\|x\| + C
3	∫ eˣ dx = eˣ + C
4	∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C	a > 0, a ≠ 1
5	∫ sin x dx = -cos x + C
6	∫ cos x dx = sin x + C
7	∫ sec² x dx = tan x + C
8	∫ csc² x dx = -cot x + C
9	∫ sec x · tan x dx = sec x + C
10	∫ csc x · cot x dx = -csc x + C
11	∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin x + C
12	∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C
13	∫ tan x dx = -ln\|cos x\| + C
14	∫ cot x dx = ln\|sin x\| + C
15	∫ sec x dx = ln\|sec x + tan x\| + C
16	∫ csc x dx = ln\|csc x - cot x\| + C

常用积分公式补充¶

∫ 1/√(a²-x²) dx = arcsin(x/a) + C
∫ 1/(a²+x²) dx = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ 1/√(x²+a²) dx = ln(x + √(x²+a²)) + C
∫ 1/√(x²-a²) dx = ln|x + √(x²-a²)| + C
∫ √(a²-x²) dx = (x/2)√(a²-x²) + (a²/2)arcsin(x/a) + C

积分技巧¶

1. 换元积分法（第一类换元法/凑微分法）

设 u = g(x)，则：

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

常用凑微分形式： - ∫ f(ax+b) dx = (1/a)∫ f(u) du - ∫ xⁿ⁻¹f(xⁿ) dx = (1/n)∫ f(u) du - ∫ f(eˣ) · eˣ dx = ∫ f(u) du - ∫ f(ln x) · (1/x) dx = ∫ f(u) du - ∫ f(sin x) · cos x dx = ∫ f(u) du

2. 第二类换元法（变量代换法）

常见代换： - 三角代换：含有 √(a²-x²) 时，令 x = a sin t - 三角代换：含有 √(a²+x²) 时，令 x = a tan t - 三角代换：含有 √(x²-a²) 时，令 x = a sec t - 根式代换：含有 ⁿ√(ax+b) 时，令 t = ⁿ√(ax+b)

3. 分部积分法

∫ u · dv = uv - ∫ v · du

选取 u 的优先级（口诀：反对幂三指）： 1. 反三角函数 2. 对数函数 3. 幂函数 4. 三角函数 5. 指数函数

4. 有理函数积分

将有理函数分解为部分分式后积分：

P(x)/Q(x) = A/(x-a) + B/(x-b)² + Cx+D/(x²+px+q) + ...

（四）反常积分（广义积分）¶

无穷限反常积分¶

定义：

∫ₐ^∞ f(x) dx = lim(b→∞) ∫ₐᵇ f(x) dx
∫₋ₐ^b f(x) dx = lim(a→-∞) ∫ₐᵇ f(x) dx
∫₋ₐ^∞ f(x) dx = ∫₋ₐ^c f(x) dx + ∫c^∞ f(x) dx

常用结论： - ∫₁^∞ (1/xᵖ) dx：当 p > 1 时收敛，当 p ≤ 1 时发散 - ∫₁^∞ e⁻ˣ dx = 1

无界函数的反常积分（瑕积分）¶

定义（a 为瑕点）：

∫ₐᵇ f(x) dx = lim(ε→0⁺) ∫ₐ₊εᵇ f(x) dx

反常积分的判别法¶

比较判别法： - 如果 0 ≤ f(x) ≤ g(x)，且 ∫g(x) dx 收敛，则 ∫f(x) dx 收敛 - 如果 0 ≤ g(x) ≤ f(x)，且 ∫g(x) dx 发散，则 ∫f(x) dx 发散

极限判别法： - 如果 lim(x→∞) f(x)/g(x) = l (0 < l < ∞)，则 ∫f(x) dx 与 ∫g(x) dx 同敛散

（五）定积分的近似计算¶

1. 矩形法¶

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ h·[f(x₀) + f(x₁) + ... + f(xₙ₋₁)]

其中 h = (b-a)/n

2. 梯形法¶

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

3. 辛普森法（抛物线法）¶

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + ... + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

（要求 n 为偶数）

数值积分方法¶

import math

def numerical_integral(func, a, b, n=10000):
    """
    数值积分（使用梯形法则）

    参数:
        func: 被积函数
        a: 积分下限
        b: 积分上限
        n: 子区间数

    返回:
        float: 积分的近似值

    示例:
        >>> def f(x): return x**2
        >>> numerical_integral(f, 0, 1)
        0.33333333335
    """
    h = (b - a) / n
    result = (func(a) + func(b)) / 2

    for i in range(1, n):
        x = a + i * h
        result += func(x)

    return result * h

def simpson_integral(func, a, b, n=1000):
    """
    辛普森数值积分法（抛物线法）

    参数:
        func: 被积函数
        a: 积分下限
        b: 积分上限
        n: 子区间数（必须为偶数）

    返回:
        float: 积分的近似值
    """
    if n % 2 != 0:
        n += 1  # 确保n为偶数

    h = (b - a) / n
    result = func(a) + func(b)

    for i in range(1, n, 2):
        result += 4 * func(a + i * h)

    for i in range(2, n, 2):
        result += 2 * func(a + i * h)

    return result * h / 3

def romberg_integral(func, a, b, max_iter=20, tol=1e-10):
    """
    龙贝格积分法（高精度数值积分）

    参数:
        func: 被积函数
        a: 积分下限
        b: 积分上限
        max_iter: 最大迭代次数
        tol: 收敛容差

    返回:
        float: 积分的近似值
    """
    R = [[0.0] * (max_iter + 1) for _ in range(max_iter + 1)]

    h = b - a
    R[0][0] = h / 2 * (func(a) + func(b))

    for i in range(1, max_iter + 1):
        # 梯形法则递推
        h /= 2
        s = sum(func(a + (2 * k - 1) * h) for k in range(1, 2**(i-1) + 1))
        R[i][0] = R[i-1][0] / 2 + s * h

        # Richardson外推
        for j in range(1, i + 1):
            R[i][j] = R[i][j-1] + (R[i][j-1] - R[i-1][j-1]) / (4**j - 1)

        if abs(R[i][i] - R[i-1][i-1]) < tol:
            return R[i][i]

    return R[max_iter][max_iter]

实例分析¶

实例1：计算 ∫₀¹ x² dx

def f1(x):
    """函数 f(x) = x²"""
    return x**2

integral = numerical_integral(f1, 0, 1)
print(f"∫₀¹ x² dx ≈ {integral:.6f}")
print(f"理论值: 1/3 ≈ {1/3:.6f}")

实例2：计算 ∫₀^π sin x dx

def f2(x):
    """函数 f(x) = sin x"""
    return math.sin(x)

integral = numerical_integral(f2, 0, math.pi)
print(f"∫₀^π sin x dx ≈ {integral:.6f}")
print(f"理论值: 2.0")

实例3：计算 ∫₁^e (1/x) dx

def f3(x):
    """函数 f(x) = 1/x"""
    return 1/x

integral = numerical_integral(f3, 1, math.e)
print(f"∫₁^e (1/x) dx ≈ {integral:.6f}")
print(f"理论值: 1.0")

（二）定积分¶

定积分的定义¶

函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分定义为：

∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σ(f(ξᵢ) · Δxᵢ)

其中 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]

几何意义¶

定积分表示函数曲线与 x 轴之间的有向面积。

牛顿-莱布尼茨公式¶

如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则：

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

定积分的性质¶

1. 线性性质

∫ₐᵇ [k₁f(x) + k₂g(x)] dx = k₁∫ₐᵇ f(x) dx + k₂∫ₐᵇ g(x) dx

2. 区间可加性

∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx

3. 积分不等式 如果 f(x) ≤ g(x)，则 ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx

4. 积分中值定理 如果 f(x) 在 [a, b] 上连续，则至少存在一点 ξ ∈ [a, b]，使得：

∫ₐᵇ f(x) dx = f(ξ)(b-a)

5. 估值定理 设 M 和 m 分别是 f(x) 在 [a, b] 上的最大值和最小值，则：

m(b-a) ≤ ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ M(b-a)

6. 奇偶函数的积分

如果 f(x) 是奇函数，则 ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0
如果 f(x) 是偶函数，则 ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx

7. 周期函数的积分

如果 f(x) 以 T 为周期，则：

∫ₐᵃ⁺ᵀ f(x) dx = ∫₀ᵀ f(x) dx

（三）积分的应用¶

1. 求面积¶

曲线与 x 轴之间的面积

A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx

两条曲线之间的面积

A = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx

参数方程表示的曲线面积

A = ∫ₐᵇ |y(t) · x'(t)| dt

极坐标表示的曲线面积

A = (1/2)∫ₐᵇ [r(θ)]² dθ

2. 求体积¶

旋转体体积（绕 x 轴旋转）

V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

旋转体体积（绕 y 轴旋转）

V = 2π ∫ₐᵇ x·|f(x)| dx

平行截面面积已知的立体体积

V = ∫ₐᵇ A(x) dx

3. 求弧长¶

曲线的弧长（直角坐标）

L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx

曲线的弧长（参数方程）

L = ∫ₐᵇ √([x'(t)]² + [y'(t)]²) dt

曲线的弧长（极坐标）

L = ∫ₐᵇ √([r(θ)]² + [r'(θ)]²) dθ

4. 物理应用¶

变力做功

W = ∫ₐᵇ F(x) dx

液体压力

F = ∫ₐᵇ ρg·h(x)·w(x) dx

质心（形心）

x̄ = (1/M)∫ₐᵇ x·ρ(x) dx
ȳ = (1/M)∫ₐᵇ (1/2)[f(x)]² dx

实战练习¶

练习1：计算定积分¶

计算 ∫₀² (x³ + 2x) dx

def f_exercise(x):
    """函数 f(x) = x³ + 2x"""
    return x**3 + 2*x

integral = numerical_integral(f_exercise, 0, 2)
print(f"∫₀² (x³ + 2x) dx ≈ {integral:.6f}")
print(f"理论值: 12.0")

练习2：求面积¶

求 y = x² 与 y = x 之间的面积

def f_area1(x):
    """函数 f(x) = x²"""
    return x**2

def f_area2(x):
    """函数 f(x) = x"""
    return x

# 找到交点
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
solutions = sp.solve(x**2 - x, x)
print(f"交点: x = {solutions}")

# 计算面积
area = numerical_integral(lambda x: abs(f_area2(x) - f_area1(x)), 0, 1)
print(f"面积 ≈ {area:.6f}")
print(f"理论值: 1/6 ≈ {1/6:.6f}")

练习3：求旋转体体积¶

求 y = x² 绕 x 轴旋转一周在 [0, 1] 上的体积

def f_volume(x):
    """函数 f(x) = x²"""
    return x**2

volume = math.pi * numerical_integral(lambda x: f_volume(x)**2, 0, 1)
print(f"旋转体体积 ≈ {volume:.6f}")
print(f"理论值: π/5 ≈ {math.pi/5:.6f}")

练习4：计算反常积分¶

计算 ∫₁^∞ (1/x²) dx

def improper_integral_demo():
    """反常积分计算示例"""
    # 由于是无穷限积分，取一个足够大的上界
    b = 10000
    result = numerical_integral(lambda x: 1/x**2, 1, b)
    print(f"∫₁^∞ (1/x²) dx ≈ {result:.6f}")
    print(f"理论值: 1.0")

improper_integral_demo()

练习5：辛普森法与梯形法比较¶

def compare_methods():
    """比较不同数值积分方法的精度"""
    func = math.sin  # sin(x) 在 [0, π] 的积分为 2.0

    # 梯形法
    trap_result = numerical_integral(func, 0, math.pi, n=100)
    trap_error = abs(trap_result - 2.0)

    # 辛普森法
    simp_result = simpson_integral(func, 0, math.pi, n=100)
    simp_error = abs(simp_result - 2.0)

    # 龙贝格法
    romb_result = romberg_integral(func, 0, math.pi)
    romb_error = abs(romb_result - 2.0)

    print("方法比较:")
    print(f"梯形法 (n=100): {trap_result:.10f}, 误差: {trap_error:.10e}")
    print(f"辛普森法 (n=100): {simp_result:.10f}, 误差: {simp_error:.10e}")
    print(f"龙贝格法: {romb_result:.10f}, 误差: {romb_error:.10e}")

compare_methods()

章节小结¶

本章介绍了积分的基本概念和应用：

不定积分：理解定义，掌握基本积分公式
定积分：理解定义和几何意义，掌握牛顿-莱布尼茨公式
积分技巧：掌握换元积分法和分部积分法
积分的应用：理解求面积、体积、弧长等应用
反常积分：掌握无穷限积分和瑕积分的计算
数值积分：掌握梯形法、辛普森法和龙贝格法

积分与导数互为逆运算，是微积分的重要组成部分。

常见题型总结¶

题型	方法	关键点
不定积分	换元法、分部积分法	识别被积函数类型
定积分计算	牛顿-莱布尼茨公式	先求原函数
面积计算	定积分	注意绝对值
体积计算	旋转体公式	区分绕x轴和y轴
反常积分	极限方法	判断收敛性
数值积分	梯形法、辛普森法	选择合适的方法

下一步¶

继续学习第四章：级数，学习数项级数、幂级数、傅里叶级数等内容。

重点提醒： - 积分与导数互为逆运算 - 换元积分法和分部积分法是重要的积分技巧 - 定积分的几何意义是面积 - 数值积分是计算复杂积分的重要工具