第六章微分方程 - 练习题¶

章节说明¶

本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固微分方程的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。

基础题（★★☆☆☆）¶

题目 1：微分方程的阶¶

题目：指出下列微分方程的阶

(1) dy/dx + y = e^x

(2) d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = 0

(3) (d³y/dx³)² + y = x

答案： - (1) 一阶 - (2) 二阶 - (3) 三阶

解析： - (1) 最高阶导数是一阶导数 dy/dx - (2) 最高阶导数是二阶导数 d²y/dx² - (3) 最高阶导数是三阶导数 d³y/dx³

题目 2：可分离变量方程¶

题目：求解下列微分方程

(1) dy/dx = x/y

(2) dy/dx = y·sin x

(3) dy/dx = x·y²

答案： - (1) y² = x² + C - (2) y = C·e^(-cos x) - (3) y = -1/(x²/2 + C)

解析： - (1) 分离变量：y dy = x dx 积分：∫ y dy = ∫ x dx y²/2 = x²/2 + C y² = x² + 2C = x² + C₁

(2) 分离变量：dy/y = sin x dx 积分：∫ dy/y = ∫ sin x dx ln|y| = -cos x + C y = C·e^(-cos x)
(3) 分离变量：dy/y² = x dx 积分：∫ y^(-2) dy = ∫ x dx -1/y = x²/2 + C y = -1/(x²/2 + C)

题目 3：齐次方程¶

题目：求解下列齐次微分方程

(1) dy/dx = y/x

(2) dy/dx = (x + y)/x

(3) dy/dx = y²/x²

答案： - (1) y = Cx - (2) y = x·ln|x| + Cx - (3) y = -x/(ln|x| + C)

解析： - (1) 分离变量：dy/y = dx/x 积分：ln|y| = ln|x| + C y = Cx

(2) 设 y = ux，则 dy/dx = u + x·du/dx 代入：u + x·du/dx = (x + ux)/x = 1 + u x·du/dx = 1 du = dx/x 积分：u = ln|x| + C y = x·(ln|x| + C)
(3) 设 y = ux，则 dy/dx = u + x·du/dx 代入：u + x·du/dx = (ux)²/x² = u² x·du/dx = u² - u du/(u² - u) = dx/x 部分分式：du/(u² - u) = (1/(u-1) - 1/u) du 积分：ln|u-1| - ln|u| = ln|x| + C (u-1)/u = Cx 1 - 1/u = Cx 1/u = 1 - Cx u = 1/(1 - Cx) y = x/(1 - Cx) = -x/(Cx - 1)

题目 4：一阶线性微分方程¶

题目：求解下列一阶线性微分方程

(1) dy/dx + y = e^x

(2) dy/dx - 2y = x

(3) dy/dx + y/x = x²

答案： - (1) y = e^x/2 + Ce^(-x) - (2) y = (x/2 + 1/4) + Ce^(2x) - (3) y = x³/4 + C/x

解析： - (1) P(x) = 1，Q(x) = e^x 积分因子：μ(x) = e^(∫1 dx) = e^x 通解：y = e^(-x)[∫ e^x·e^x dx + C] = e^(-x)[∫ e^(2x) dx + C] = e^(-x)[e^(2x)/2 + C] = e^x/2 + Ce^(-x)

(2) P(x) = -2，Q(x) = x 积分因子：μ(x) = e^(∫-2 dx) = e^(-2x) 通解：y = e^(2x)[∫ x·e^(-2x) dx + C] 使用分部积分：∫ x·e^(-2x) dx = -xe^(-2x)/2 - e^(-2x)/4 + C y = e^(2x)[-xe^(-2x)/2 - e^(-2x)/4 + C] = -x/2 - 1/4 + Ce^(2x)
(3) P(x) = 1/x，Q(x) = x² 积分因子：μ(x) = e^(∫1/x dx) = e^(ln x) = x 通解：y = (1/x)[∫ x²·x dx + C] = (1/x)[∫ x³ dx + C] = (1/x)[x⁴/4 + C] = x³/4 + C/x

题目 5：初始条件问题¶

题目：求解下列初值问题

(1) dy/dx = x，y(0) = 1

(2) dy/dx + y = 0，y(0) = 2

(3) dy/dx = y/x，y(1) = 3

答案： - (1) y = x²/2 + 1 - (2) y = 2e^(-x) - (3) y = 3x

解析： - (1) 分离变量：dy = x dx 积分：y = x²/2 + C 由 y(0) = 1：C = 1 y = x²/2 + 1

(2) 分离变量：dy/y = -dx 积分：ln|y| = -x + C y = Ce^(-x) 由 y(0) = 2：C = 2 y = 2e^(-x)
(3) 分离变量：dy/y = dx/x 积分：ln|y| = ln|x| + C y = Cx 由 y(1) = 3：C = 3 y = 3x

中等题（★★★☆☆）¶

题目 6：二阶常系数齐次方程¶

题目：求解下列二阶常系数齐次微分方程

(1) y'' - 5y' + 6y = 0

(2) y'' - 4y' + 4y = 0

(3) y'' + y = 0

答案： - (1) y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) - (2) y = (C₁ + C₂x)e^(2x) - (3) y = C₁cos x + C₂sin x

解析： - (1) 特征方程：r² - 5r + 6 = 0 解：r₁ = 2，r₂ = 3 通解：y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)

(2) 特征方程：r² - 4r + 4 = 0 解：r = 2（重根）通解：y = (C₁ + C₂x)e^(2x)
(3) 特征方程：r² + 1 = 0 解：r = ±i 通解：y = C₁cos x + C₂sin x

题目 7：二阶常系数非齐次方程¶

题目：求解下列二阶常系数非齐次微分方程

(1) y'' - y = e^x

(2) y'' + y = sin x

(3) y'' - 4y' + 3y = 2x

答案： - (1) y = C₁e^x + C₂e^(-x) + xe^x/2 - (2) y = C₁cos x + C₂sin x - xcos x/2 - (3) y = C₁e^x + C₂e^(3x) + (2x + 8)/3

解析： - (1) 对应齐次方程的通解：y_h = C₁e^x + C₂e^(-x) 设特解形式：y_p = Axe^x 代入求系数：A = 1/2 通解：y = C₁e^x + C₂e^(-x) + xe^x/2

(2) 对应齐次方程的通解：y_h = C₁cos x + C₂sin x 设特解形式：y_p = x(Acos x + Bsin x) 代入求系数：A = -1/2，B = 0 通解：y = C₁cos x + C₂sin x - xcos x/2
(3) 对应齐次方程的通解：y_h = C₁e^x + C₂e^(3x) 设特解形式：y_p = Ax + B 代入求系数：A = 2/3，B = 8/3 通解：y = C₁e^x + C₂e^(3x) + (2x + 8)/3

题目 8：伯努利方程¶

题目：求解下列伯努利方程

(1) dy/dx + y = xy³

(2) dy/dx - y/x = y²/x

(3) dy/dx + y/x = y²

答案： - (1) y^(-2) = -x + Ce^(2x) - (2) 1/y = (C - ln|x|)/x - (3) y = -x/(ln|x| + C)

解析： - (1) 伯努利方程：dy/dx + y = xy³ 设 z = y^(-2)，则 dz/dx = -2y^(-3)dy/dx 代入：-y³/2·dz/dx + y = xy³ dz/dx - 2z = -2x 解得：z = x + Ce^(2x) y^(-2) = x + Ce^(2x)

(2) 伯努利方程：dy/dx - y/x = y²/x 设 z = y^(-1)，则 dz/dx = -y^(-2)dy/dx 代入：-y²·dz/dx - y/x = y²/x dz/dx + z/x = -1/x 解得：z = (C - ln|x|)/x 1/y = (C - ln|x|)/x
(3) 伯努利方程：dy/dx + y/x = y² 设 z = y^(-1)，则 dz/dx = -y^(-2)dy/dx 代入：-y²·dz/dx + y/x = y² dz/dx - z/x = -1 解得：z = (ln|x| + C)/x 1/y = (ln|x| + C)/x y = x/(ln|x| + C)

题目 9：欧拉方法¶

题目：使用欧拉方法求解 dy/dx = y，y(0) = 1，取步长 h = 0.1，计算 y(0.2) 的近似值

答案：y(0.2) ≈ 1.21

解析：欧拉公式：yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)

y₀ = 1（x₀ = 0） y₁ = y₀ + h·y₀ = 1 + 0.1·1 = 1.1（x₁ = 0.1） y₂ = y₁ + h·y₁ = 1.1 + 0.1·1.1 = 1.21（x₂ = 0.2）

因此 y(0.2) ≈ 1.21

精确值：y = e^x，y(0.2) = e^0.2 ≈ 1.2214

题目 10：应用题：增长模型¶

题目：某细菌的数量 N(t) 满足微分方程 dN/dt = kN，其中 k 为常数。已知 t = 0 时 N = 100，t = 2 时 N = 400。求 N(t) 的表达式，并计算 t = 5 时的细菌数量。

答案： N(t) = 100·e^(t·ln 2) = 100·2^t N(5) = 100·2^5 = 3200

解析： dN/dt = kN

分离变量：dN/N = k dt 积分：ln N = kt + C N = Ce^(kt)

由 N(0) = 100：C = 100 由 N(2) = 400：400 = 100·e^(2k) e^(2k) = 4，2k = ln 4 = 2ln 2，k = ln 2

因此：N(t) = 100·e^(t·ln 2) = 100·2^t

N(5) = 100·2^5 = 100·32 = 3200

提高题（★★★★☆）¶

题目 11：可降阶的高阶方程¶

题目：求解下列高阶微分方程

(1) y'' = x²

(2) y'' = y'

(3) y'' = y

答案： - (1) y = x⁴/12 + C₁x + C₂ - (2) y = C₁e^x + C₂ - (3) y = C₁e^x + C₂e^(-x)

解析： - (1) y'' = x² 积分：y' = x³/3 + C₁ 再积分：y = x⁴/12 + C₁x + C₂

(2) 设 z = y'，则 z' = z dz/dx = z 分离变量：dz/z = dx 积分：ln|z| = x + C₁ z = C₁e^x y' = C₁e^x 积分：y = C₁e^x + C₂
(3) 特征方程：r² - 1 = 0 解：r = ±1 通解：y = C₁e^x + C₂e^(-x)

题目 12：微分方程组¶

题目：求解下列微分方程组

(1) dx/dt = y，dy/dt = -x

(2) dx/dt = x + y，dy/dt = x - y

答案： - (1) x = C₁cos t + C₂sin t，y = -C₁sin t + C₂cos t - (2) x = C₁e^(√2t) + C₂e^(-√2t)，y = C₁(√2 - 1)e^(√2t) + C₂(-√2 - 1)e^(-√2t)

解析： - (1) 对 t 求导：d²x/dt² = dy/dt = -x x'' + x = 0 通解：x = C₁cos t + C₂sin t y = dx/dt = -C₁sin t + C₂cos t

(2) 对 t 求导：d²x/dt² = dx/dt + dy/dt = (x + y) + (x - y) = 2x x'' - 2x = 0 通解：x = C₁e^(√2t) + C₂e^(-√2t) y = dx/dt - x = C₁√2e^(√2t) - C₂√2e^(-√2t) - C₁e^(√2t) - C₂e^(-√2t) = C₁(√2 - 1)e^(√2t) + C₂(-√2 - 1)e^(-√2t)

题目 13：拉普拉斯变换¶

题目：使用拉普拉斯变换求解初值问题

y'' + 4y = 0，y(0) = 1，y'(0) = 0

答案：y = cos 2t

解析：取拉普拉斯变换： L[y''] + 4L[y] = 0 s²Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4Y(s) = 0 s²Y(s) - s + 4Y(s) = 0 (s² + 4)Y(s) = s Y(s) = s/(s² + 4)

取逆拉普拉斯变换： y(t) = cos 2t

题目 14：微分方程的解的存在唯一性¶

题目：证明初值问题 dy/dx = √y，y(0) = 0 的解不唯一

答案：见解析

解析：分离变量：dy/√y = dx 积分：2√y = x + C

由 y(0) = 0：C = 0 √y = x/2 y = x²/4（x ≥ 0）

但 y = 0 也是满足微分方程和初始条件的解。

因此该初值问题的解不唯一。

原因：函数 f(x, y) = √y 在 y = 0 处不满足利普希茨条件。

题目 15：微分方程的稳定性¶

题目：分析微分方程 dy/dt = y(1 - y) 的平衡点及其稳定性

答案：平衡点：y = 0（不稳定），y = 1（稳定）

解析：令 dy/dt = 0，得 y = 0 或 y = 1

对平衡点 y = 0：在 y = 0 附近，dy/dt ≈ y 解为 y = Ce^t，发散，因此不稳定

对平衡点 y = 1：令 y = 1 + z，则 dz/dt = -(1 + z)z ≈ -z 解为 z = Ce^(-t)，收敛到 0，因此稳定

挑战题（★★★★★）¶

题目 16：微分方程的级数解法¶

题目：使用幂级数法求解微分方程 y'' + y = 0

答案：y = C₁cos x + C₂sin x

解析：设 y = Σ(n=0 to ∞) aₙxⁿ

y' = Σ(n=1 to ∞) n·aₙx^(n-1) y'' = Σ(n=2 to ∞) n(n-1)·aₙx^(n-2)

代入方程： Σ(n=2 to ∞) n(n-1)·aₙx^(n-2) + Σ(n=0 to ∞) aₙxⁿ = 0

整理得递推关系：(n+2)(n+1)·a_(n+2) + aₙ = 0 a_(n+2) = -aₙ/[(n+2)(n+1)]

设 a₀ = C₁，a₁ = C₂

a₂ = -a₀/2 = -C₁/2 a₃ = -a₁/6 = -C₂/6 a₄ = -a₂/12 = C₁/24 a₅ = -a₃/20 = C₂/120 ...

因此： y = C₁(1 - x²/2 + x⁴/24 - ...) + C₂(x - x³/6 + x⁵/120 - ...) = C₁cos x + C₂sin x

题目 17：非线性微分方程¶

题目：求解微分方程 dy/dx = (y - x)/(y + x)

答案：(y - x)² = C·(y + x)

解析：设 y = ux，则 dy/dx = u + x·du/dx

代入：u + x·du/dx = (ux - x)/(ux + x) = (u - 1)/(u + 1) x·du/dx = (u - 1)/(u + 1) - u = (u - 1 - u² - u)/(u + 1) = -(u² + 1)/(u + 1)

分离变量：-(u + 1)/(u² + 1) du = dx/x 积分：-∫ (u + 1)/(u² + 1) du = ∫ dx/x -∫ u/(u² + 1) du - ∫ 1/(u² + 1) du = ln|x| + C -1/2·ln(u² + 1) - arctan u = ln|x| + C

代入 u = y/x： -1/2·ln(y²/x² + 1) - arctan(y/x) = ln|x| + C -1/2·ln((y² + x²)/x²) - arctan(y/x) = ln|x| + C -1/2·ln(y² + x²) + ln|x| - arctan(y/x) = ln|x| + C -1/2·ln(y² + x²) - arctan(y/x) = C

化简得：(y - x)² = C·(y + x)

题目 18：微分方程的边值问题¶

题目：求解边值问题 y'' + y = 0，y(0) = 0，y(π/2) = 1

答案：y = sin x

解析：特征方程：r² + 1 = 0 解：r = ±i

通解：y = C₁cos x + C₂sin x

由 y(0) = 0：C₁ = 0 由 y(π/2) = 1：C₂ = 1

因此：y = sin x

题目 19：微分方程的渐近行为¶

题目：分析微分方程 dy/dt = -y³ + y 的解的渐近行为

答案：见解析

解析：令 dy/dt = 0，得平衡点：y = 0，y = 1，y = -1

对平衡点 y = 0： dy/dt ≈ y，不稳定

对平衡点 y = 1：令 y = 1 + z，dz/dt ≈ -2z，稳定

对平衡点 y = -1：令 y = -1 + z，dz/dt ≈ 2z，不稳定

因此，除了 y = -1，所有解最终趋于 y = 1。

题目 20：微分方程的应用¶

题目：一个质量为 m 的物体从高度 h 自由落下，受到空气阻力 f = kv²，其中 k 为常数，v 为速度。建立微分方程并求解。

答案： v(t) = √(mg/k)·tanh(√(gk/m)·t)

解析：由牛顿第二定律：m·dv/dt = mg - kv²

设 v₀ = √(mg/k)，令 u = v/v₀

则：m·v₀·du/dt = mg - kv₀²u² m·v₀·du/dt = mg - mg·u² du/dt = g/v₀·(1 - u²) = √(gk/m)·(1 - u²)

分离变量：du/(1 - u²) = √(gk/m)·dt 积分：1/2·ln|(1 + u)/(1 - u)| = √(gk/m)·t + C (1 + u)/(1 - u) = C·e^(2√(gk/m)·t)

由 v(0) = 0，得 u(0) = 0，C = 1

解得：u = tanh(√(gk/m)·t)

因此：v(t) = v₀·tanh(√(gk/m)·t) = √(mg/k)·tanh(√(gk/m)·t)

章节总结¶

通过本章练习，你应该掌握：

微分方程的基本概念
微分方程的阶
微分方程的解
初值问题
一阶微分方程
可分离变量方程
齐次方程
一阶线性方程
伯努利方程
二阶微分方程
二阶常系数齐次方程
二阶常系数非齐次方程
可降阶的高阶方程
微分方程的数值解
欧拉方法
改进的欧拉方法
微分方程的应用
增长模型
振动模型
电路模型
高级内容
拉普拉斯变换
级数解法
稳定性分析

建议熟练掌握基本类型的微分方程解法，多做练习提高解题能力。

完成全部练习！恭喜你！ 🎉

第六章 微分方程 - 练习题¶