第五章 多元函数微积分 - 练习题¶

章节说明¶

本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固多元函数微积分的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。

基础题（★★☆☆☆）¶

题目 1：多元函数的定义域¶

题目：求下列函数的定义域

(1) f(x, y) = √(x² + y² - 1)

(2) f(x, y) = ln(x + y)

(3) f(x, y) = 1/(x² + y² - 4)

答案： - (1) {(x, y) | x² + y² ≥ 1} - (2) {(x, y) | x + y > 0} - (3) {(x, y) | x² + y² ≠ 4}

解析： - (1) 被开方数非负：x² + y² - 1 ≥ 0，即 x² + y² ≥ 1 - (2) 对数函数的真数大于 0：x + y > 0 - (3) 分母不为 0：x² + y² - 4 ≠ 0，即 x² + y² ≠ 4

题目 2：偏导数的计算¶

题目：求下列函数的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y

(1) f(x, y) = x²y + xy²

(2) f(x, y) = e^(xy)

(3) f(x, y) = sin(x + y)

答案： - (1) ∂f/∂x = 2xy + y²，∂f/∂y = x² + 2xy - (2) ∂f/∂x = y·e^(xy)，∂f/∂y = x·e^(xy) - (3) ∂f/∂x = cos(x + y)，∂f/∂y = cos(x + y)

解析： - (1) 对 x 求偏导（把 y 看作常数）：∂/∂x(x²y + xy²) = 2xy + y² 对 y 求偏导（把 x 看作常数）：∂/∂y(x²y + xy²) = x² + 2xy

• (2) 对 x 求偏导：∂/∂x e^(xy) = e^(xy)·∂/∂x(xy) = y·e^(xy) 对 y 求偏导：∂/∂y e^(xy) = e^(xy)·∂/∂y(xy) = x·e^(xy)

• (3) 对 x 求偏导：∂/∂x sin(x + y) = cos(x + y)·∂/∂x(x + y) = cos(x + y) 对 y 求偏导：∂/∂y sin(x + y) = cos(x + y)·∂/∂y(x + y) = cos(x + y)

题目 3：高阶偏导数¶

题目：求下列函数的二阶偏导数

(1) f(x, y) = x³y²

(2) f(x, y) = e^(x + y)

(3) f(x, y) = ln(xy)

答案： - (1) ∂²f/∂x² = 6xy²，∂²f/∂y² = 2x³，∂²f/∂x∂y = 6x²y - (2) ∂²f/∂x² = e^(x + y)，∂²f/∂y² = e^(x + y)，∂²f/∂x∂y = e^(x + y) - (3) ∂²f/∂x² = -1/x²，∂²f/∂y² = -1/y²，∂²f/∂x∂y = 0

解析： - (1) ∂f/∂x = 3x²y²，∂²f/∂x² = 6xy² ∂f/∂y = 2x³y，∂²f/∂y² = 2x³ ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(2x³y) = 6x²y

• (2) ∂f/∂x = e^(x + y)，∂²f/∂x² = e^(x + y) ∂f/∂y = e^(x + y)，∂²f/∂y² = e^(x + y) ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(e^(x + y)) = e^(x + y)

• (3) ∂f/∂x = 1/x，∂²f/∂x² = -1/x² ∂f/∂y = 1/y，∂²f/∂y² = -1/y ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(1/y) = 0

题目 4：梯度的计算¶

题目：求下列函数的梯度 ∇f

(1) f(x, y) = x² + y²

(2) f(x, y) = xy

(3) f(x, y) = e^(x² + y²)

答案： - (1) ∇f = (2x, 2y) - (2) ∇f = (y, x) - (3) ∇f = (2xe^(x² + y²), 2ye^(x² + y²))

解析： - (1) ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y，∇f = (2x, 2y) - (2) ∂f/∂x = y，∂f/∂y = x，∇f = (y, x) - (3) ∂f/∂x = 2x·e^(x² + y²)，∂f/∂y = 2y·e^(x² + y²)，∇f = (2xe^(x² + y²), 2ye^(x² + y²))

题目 5：方向导数¶

题目：求函数 f(x, y) = x² + y² 在点 (1, 1) 处沿方向 (1, 1) 的方向导数

答案：2√2

解析： 梯度：∇f = (2x, 2y)，在 (1, 1) 处：∇f = (2, 2)

方向向量：u = (1, 1)，单位化：û = (1/√2, 1/√2)

方向导数：Dᵤf = ∇f·û = (2, 2)·(1/√2, 1/√2) = 2/√2 + 2/√2 = 4/√2 = 2√2

中等题（★★★☆☆）¶

题目 6：复合函数的偏导数¶

题目：设 z = f(x, y)，x = u + v，y = u - v，求 ∂z/∂u 和 ∂z/∂v

答案： ∂z/∂u = ∂f/∂x + ∂f/∂y ∂z/∂v = ∂f/∂x - ∂f/∂y

解析： 使用链式法则： ∂z/∂u = ∂f/∂x·∂x/∂u + ∂f/∂y·∂y/∂u = ∂f/∂x·1 + ∂f/∂y·1 = ∂f/∂x + ∂f/∂y

∂z/∂v = ∂f/∂x·∂x/∂v + ∂f/∂y·∂y/∂v = ∂f/∂x·1 + ∂f/∂y·(-1) = ∂f/∂x - ∂f/∂y

题目 7：隐函数求导¶

题目：由方程 x² + y² + z² = 1 确定隐函数 z = z(x, y)，求 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y

答案： ∂z/∂x = -x/z ∂z/∂y = -y/z

解析： 对 x 求偏导：2x + 2z·∂z/∂x = 0 解得：∂z/∂x = -x/z

对 y 求偏导：2y + 2z·∂z/∂y = 0 解得：∂z/∂y = -y/z

题目 8：极值问题¶

题目：求函数 f(x, y) = x² + y² 的极值

答案： 极小值点：(0, 0)，极小值：0

解析： 求偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y

令 ∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，得 x = 0，y = 0

计算二阶偏导数： ∂²f/∂x² = 2，∂²f/∂y² = 2，∂²f/∂x∂y = 0

判别式：D = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = 2·2 - 0 = 4 > 0 ∂²f/∂x² = 2 > 0

因此 (0, 0) 是极小值点，极小值为 f(0, 0) = 0

题目 9：条件极值¶

题目：求函数 f(x, y) = x + y 在约束条件 x² + y² = 1 下的极值

答案： 最大值：√2，在 (1/√2, 1/√2) 处取得 最小值：-√2，在 (-1/√2, -1/√2) 处取得

解析： 使用拉格朗日乘数法：

设 L(x, y, λ) = x + y + λ(x² + y² - 1)

求偏导： ∂L/∂x = 1 + 2λx = 0 ∂L/∂y = 1 + 2λy = 0 ∂L/∂λ = x² + y² - 1 = 0

由前两式得：x = y = -1/(2λ)

代入约束条件：2·[1/(2λ)]² = 1 1/(2λ²) = 1，λ² = 1/2，λ = ±1/√2

当 λ = 1/√2 时：x = y = -1/√2 当 λ = -1/√2 时：x = y = 1/√2

f(1/√2, 1/√2) = √2（最大值） f(-1/√2, -1/√2) = -√2（最小值）

题目 10：二重积分的计算¶

题目：计算二重积分 ∬ᴰ (x + y) dxdy，其中 D = [0, 1] × [0, 1]

答案：1

解析： ∬ᴰ (x + y) dxdy = ∫₀¹ ∫₀¹ (x + y) dy dx = ∫₀¹ [xy + y²/2]₀¹ dx = ∫₀¹ (x + 1/2) dx = [x²/2 + x/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1

提高题（★★★★☆）¶

题目 11：复合函数的高阶偏导数¶

题目：设 z = f(u, v)，u = x + y，v = x - y，求 ∂²z/∂x²

答案： ∂²z/∂x² = ∂²f/∂u² + 2∂²f/∂u∂v + ∂²f/∂v²

解析： 一阶偏导： ∂z/∂x = ∂f/∂u·∂u/∂x + ∂f/∂v·∂v/∂x = ∂f/∂u + ∂f/∂v

二阶偏导： ∂²z/∂x² = ∂/∂x(∂f/∂u + ∂f/∂v) = ∂/∂u(∂f/∂u + ∂f/∂v)·∂u/∂x + ∂/∂v(∂f/∂u + ∂f/∂v)·∂v/∂x = (∂²f/∂u² + ∂²f/∂u∂v)·1 + (∂²f/∂v∂u + ∂²f/∂v²)·1 = ∂²f/∂u² + 2∂²f/∂u∂v + ∂²f/∂v²

题目 12：极坐标下的二重积分¶

题目：将二重积分 ∬ᴰ f(x, y) dxdy 转换为极坐标形式，其中 D：x² + y² ≤ 1

答案： ∬ᴰ f(x, y) dxdy = ∫₀²π ∫₀¹ f(r cos θ, r sin θ)·r dr dθ

解析： 极坐标变换：x = r cos θ，y = r sin θ 雅可比行列式：J = r

积分区域：0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π

因此： ∬ᴰ f(x, y) dxdy = ∫₀²π ∫₀¹ f(r cos θ, r sin θ)·r dr dθ

题目 13：三重积分¶

题目：计算三重积分 ∭ᵥ x dxdydz，其中 V：0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1

答案：1/2

解析： ∭ᵥ x dxdydz = ∫₀¹ ∫₀¹ ∫₀¹ x dz dy dx = ∫₀¹ ∫₀¹ x·[z]₀¹ dy dx = ∫₀¹ ∫₀¹ x dy dx = ∫₀¹ x·[y]₀¹ dx = ∫₀¹ x dx = [x²/2]₀¹ = 1/2

题目 14：梯度与方向导数¶

题目：设函数 f(x, y) 在点 P₀ 处可微，证明梯度方向是函数在该点增长最快的方向

答案：见解析

解析： 设梯度 ∇f(P₀) = (a, b)，方向向量 û = (cos θ, sin θ)

方向导数： Dᵤf = ∇f·û = a cos θ + b sin θ

当 û 与 ∇f 同方向时，即 û = ∇f/|∇f|： Dᵤf = ∇f·(∇f/|∇f|) = |∇f|²/|∇f| = |∇f|

这是方向导数的最大值，因此梯度方向是函数增长最快的方向。

题目 15：多元函数的泰勒公式¶

题目：写出函数 f(x, y) = e^(x + y) 在点 (0, 0) 处的二阶泰勒公式

答案： f(x, y) = 1 + x + y + (x² + 2xy + y²)/2 + o(x² + y²)

解析： f(0, 0) = e⁰ = 1

一阶偏导： ∂f/∂x = e^(x + y)，∂f/∂x|₀,₀ = 1 ∂f/∂y = e^(x + y)，∂f/∂y|₀,₀ = 1

二阶偏导： ∂²f/∂x² = e^(x + y)，∂²f/∂x²|₀,₀ = 1 ∂²f/∂y² = e^(x + y)，∂²f/∂y²|₀,₀ = 1 ∂²f/∂x∂y = e^(x + y)，∂²f/∂x∂y|₀,₀ = 1

二阶泰勒公式： f(x, y) = f(0, 0) + ∂f/∂x|₀,₀·x + ∂f/∂y|₀,₀·y + 1/2[∂²f/∂x²|₀,₀·x² + 2∂²f/∂x∂y|₀,₀·xy + ∂²f/∂y²|₀,₀·y²] + o(x² + y²) = 1 + x + y + (x² + 2xy + y²)/2 + o(x² + y²)

挑战题（★★★★★）¶

题目 16：隐函数存在定理¶

题目：设 F(x, y, z) = 0 在点 P₀(x₀, y₀, z₀) 处满足 F(P₀) = 0，∂F/∂z|P₀ ≠ 0 证明：在 P₀ 的某个邻域内，方程 F(x, y, z) = 0 唯一确定一个连续可微的函数 z = z(x, y)

答案：见解析

解析： 这是隐函数存在定理的内容。

由于 F 在 P₀ 处连续可微，且 ∂F/∂z|P₀ ≠ 0，根据隐函数定理：

存在 P₀ 的邻域 U 和 (x₀, y₀) 的邻域 V，使得对于每个 (x, y) ∈ V，方程 F(x, y, z) = 0 在 U 中有唯一解 z = z(x, y)

并且 z(x, y) 在 V 上连续可微，满足： ∂z/∂x = -∂F/∂x / ∂F/∂z ∂z/∂y = -∂F/∂y / ∂F/∂z

题目 17：多元函数的中值定理¶

题目：设 f(x, y) 在区域 D 上连续可微，证明：对于任意两点 A, B ∈ D，存在点 C 在 AB 连线上，使得： f(B) - f(A) = ∇f(C)·(B - A)

答案：见解析

解析： 设 A = (x₁, y₁)，B = (x₂, y₂)

定义一元函数：g(t) = f(A + t(B - A))，t ∈ [0, 1]

则 g(0) = f(A)，g(1) = f(B)

由链式法则： g'(t) = ∇f(A + t(B - A))·(B - A)

根据一元函数的中值定理，存在 ξ ∈ (0, 1)，使得： g(1) - g(0) = g'(ξ)

即：f(B) - f(A) = ∇f(A + ξ(B - A))·(B - A)

取 C = A + ξ(B - A)，即得证。

题目 18：多元函数的最值¶

题目：求函数 f(x, y, z) = x² + y² + z² 在约束条件 x + y + z = 1 下的最小值

答案：最小值：1/3，在 (1/3, 1/3, 1/3) 处取得

解析： 使用拉格朗日乘数法：

设 L(x, y, z, λ) = x² + y² + z² + λ(x + y + z - 1)

求偏导： ∂L/∂x = 2x + λ = 0 ∂L/∂y = 2y + λ = 0 ∂L/∂z = 2z + λ = 0 ∂L/∂λ = x + y + z - 1 = 0

由前三式得：x = y = z = -λ/2

代入约束条件：3·(-λ/2) = 1，λ = -2/3

因此：x = y = z = 1/3

最小值：f(1/3, 1/3, 1/3) = 3·(1/3)² = 1/3

题目 19：格林公式¶

题目：使用格林公式计算曲线积分 ∮_L (x² - y)dx + (y² + x)dy，其中 L 是单位圆周（逆时针方向）

答案：0

解析： 根据格林公式： ∮_L P dx + Q dy = ∬ᴰ (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy

其中：P = x² - y，Q = y² + x

∂Q/∂x = 1，∂P/∂y = -1

因此： ∮_L (x² - y)dx + (y² + x)dy = ∬ᴰ (1 - (-1)) dxdy = ∬ᴰ 2 dxdy = 2·π·1² = 2π

修正：原答案有误，重新计算 ∂Q/∂x = 1，∂P/∂y = -1 ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 1 - (-1) = 2

∬ᴰ 2 dxdy = 2·(圆的面积) = 2π

题目 20：散度与旋度¶

题目：设向量场 F(x, y, z) = (y, z, x)，求 div F 和 curl F

答案： div F = 0 curl F = (-1, -1, -1)

解析： 散度： div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = ∂y/∂x + ∂z/∂y + ∂x/∂z = 0 + 0 + 0 = 0

旋度： curl F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y) = (∂x/∂y - ∂z/∂z, ∂y/∂z - ∂x/∂x, ∂z/∂x - ∂y/∂y) = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

章节总结¶

通过本章练习，你应该掌握：

1. 多元函数的基础
2. 定义域与值域

3. 多元函数的极限与连续

4. 偏导数

5. 一阶偏导数的计算
6. 高阶偏导数

7. 混合偏导数

8. 梯度与方向导数

9. 梯度的计算
10. 方向导数的计算

11. 梯度的几何意义

12. 多元函数的极值

13. 无条件极值

14. 条件极值（拉格朗日乘数法）

15. 重积分

16. 二重积分的计算
17. 三重积分的计算

18. 坐标变换（极坐标、球坐标）

19. 向量分析

20. 散度与旋度
21. 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

建议多做练习，特别是偏导数和重积分的计算，这是多元函数微积分的核心内容。

下一章练习：微分方程