第四章 级数 - 练习题¶
章节说明¶
本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固级数的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。
基础题（★★☆☆☆）¶
题目 1：等比级数¶
题目：判断下列等比级数的收敛性，若收敛求其和
(1) Σ(n=0 to ∞) (1/3)ⁿ
(2) Σ(n=1 to ∞) 2/3ⁿ
(3) Σ(n=0 to ∞) (-1/2)ⁿ
答案： - (1) 收敛，和为 3/2 - (2) 收敛，和为 1 - (3) 收敛，和为 2/3
解析： - (1) 首项 a = 1，公比 r = 1/3，|r| < 1，收敛 和 = a/(1 - r) = 1/(1 - 1/3) = 3/2
-
(2) 首项 a = 2/3，公比 r = 1/3，|r| < 1，收敛 和 = a/(1 - r) = (2/3)/(1 - 1/3) = (2/3)/(2/3) = 1
-
(3) 首项 a = 1，公比 r = -1/2，|r| < 1，收敛 和 = a/(1 - r) = 1/(1 - (-1/2)) = 1/(3/2) = 2/3
题目 2：p-级数¶
题目：判断下列级数的收敛性
(1) Σ(n=1 to ∞) 1/n²
(2) Σ(n=1 to ∞) 1/n^(1/2)
(3) Σ(n=1 to ∞) 1/n³
答案： - (1) 收敛 - (2) 发散 - (3) 收敛
解析： - (1) p = 2 > 1，p-级数收敛 - (2) p = 1/2 < 1，p-级数发散 - (3) p = 3 > 1，p-级数收敛
题目 3：比较判别法¶
题目：使用比较判别法判断下列级数的收敛性
(1) Σ(n=1 to ∞) 1/(n² + 1)
(2) Σ(n=1 to ∞) (n + 1)/(n² + n)
(3) Σ(n=1 to ∞) sin(1/n²)
答案： - (1) 收敛 - (2) 发散 - (3) 收敛
解析： - (1) 0 < 1/(n² + 1) < 1/n² 由于 Σ 1/n² 收敛，因此 Σ 1/(n² + 1) 收敛
-
(2) (n + 1)/(n² + n) = (n + 1)/(n(n + 1)) = 1/n Σ 1/n 是调和级数，发散 因此 Σ (n + 1)/(n² + n) 发散
-
(3) 0 < sin(1/n²) < 1/n²（当 n 充分大时） 由于 Σ 1/n² 收敛，因此 Σ sin(1/n²) 收敛
题目 4：比值判别法¶
题目：使用比值判别法判断下列级数的收敛性
(1) Σ(n=1 to ∞) n!/2ⁿ
(2) Σ(n=1 to ∞) n²/2ⁿ
(3) Σ(n=1 to ∞) 1/n!
答案： - (1) 发散 - (2) 收敛 - (3) 收敛
解析： - (1) lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) [(n+1)!/2^(n+1)]/[n!/2ⁿ] = lim(n→∞) [(n+1)·n!/2·2ⁿ]/[n!/2ⁿ] = lim(n→∞) (n+1)/2 = ∞ > 1 因此级数发散
-
(2) lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) [(n+1)²/2^(n+1)]/[n²/2ⁿ] = lim(n→∞) [(n+1)²/(2·2ⁿ)]/[n²/2ⁿ] = lim(n→∞) [(n+1)²/n²]·(1/2) = 1·(1/2) = 1/2 < 1 因此级数收敛
-
(3) lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) [1/(n+1)!]/[1/n!] = lim(n→∞) [n!/(n+1)!] = lim(n→∞) 1/(n+1) = 0 < 1 因此级数收敛
题目 5：交错级数¶
题目：判断下列交错级数的收敛性
(1) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)/n
(2) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)/n²
(3) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)·n/(n² + 1)
答案： - (1) 收敛（条件收敛） - (2) 收敛（绝对收敛） - (3) 收敛（条件收敛）
解析： - (1) 这是交错调和级数 满足莱布尼茨判别法： ① 1/n 单调递减 ② lim(n→∞) 1/n = 0 因此级数收敛 但 Σ |(-1)^(n+1)/n| = Σ 1/n 发散，所以条件收敛
-
(2) 1/n² 单调递减，lim(n→∞) 1/n² = 0 因此级数收敛 Σ |(-1)^(n+1)/n²| = Σ 1/n² 收敛，所以绝对收敛
-
(3) n/(n² + 1) 单调递减（对于 n ≥ 1） lim(n→∞) n/(n² + 1) = 0 因此级数收敛 但 Σ n/(n² + 1) 发散（与调和级数同阶），所以条件收敛
中等题（★★★☆☆）¶
题目 6：根值判别法¶
题目：使用根值判别法判断下列级数的收敛性
(1) Σ(n=1 to ∞) (n/2ⁿ)
(2) Σ(n=1 to ∞) (1/n)ⁿ
(3) Σ(n=1 to ∞) (2n + 1)/(3n + 2)ⁿ
答案： - (1) 收敛 - (2) 收敛 - (3) 收敛
解析： - (1) lim(n→∞) √[n]{n/2ⁿ} = lim(n→∞) n^(1/n)/2 = 1/2 < 1 因此级数收敛
-
(2) lim(n→∞) √[n]{(1/n)ⁿ} = lim(n→∞) 1/n = 0 < 1 因此级数收敛
-
(3) lim(n→∞) √[n]{(2n + 1)/(3n + 2)ⁿ} = lim(n→∞) (2n + 1)^(1/n)/(3n + 2) = 1/∞ = 0 < 1 因此级数收敛
题目 7：幂级数的收敛半径¶
题目：求下列幂级数的收敛半径
(1) Σ(n=0 to ∞) xⁿ/n!
(2) Σ(n=1 to ∞) n!·xⁿ
(3) Σ(n=1 to ∞) xⁿ/n
答案： - (1) R = ∞ - (2) R = 0 - (3) R = 1
解析： - (1) 使用比值判别法： lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) (1/(n+1)!)/(1/n!) = lim(n→∞) 1/(n+1) = 0 R = 1/0 = ∞
-
(2) 使用比值判别法： lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) ((n+1)!)/(n!) = lim(n→∞) (n+1) = ∞ R = 1/∞ = 0
-
(3) 使用比值判别法： lim(n→∞) |aₙ₊₁/aₙ| = lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1 R = 1/1 = 1
题目 8：泰勒级数展开¶
题目：求下列函数在 x = 0 处的泰勒级数（前四项）
(1) f(x) = cos x
(2) f(x) = e^(2x)
(3) f(x) = 1/(1 - x)
答案： - (1) 1 - x²/2 + x⁴/24 - x⁶/720 + ... - (2) 1 + 2x + 2x² + 4x³/3 + ... - (3) 1 + x + x² + x³ + ...
解析： - (1) f'(x) = -sin x，f''(x) = -cos x，f'''(x) = sin x，f⁽⁴⁾(x) = cos x f(0) = 1，f'(0) = 0，f''(0) = -1，f'''(0) = 0，f⁽⁴⁾(0) = 1 cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...
-
(2) f'(x) = 2e^(2x)，f''(x) = 4e^(2x)，f'''(x) = 8e^(2x) f(0) = 1，f'(0) = 2，f''(0) = 4，f'''(0) = 8 e^(2x) = 1 + 2x + 4x²/2! + 8x³/3! + ... = 1 + 2x + 2x² + 4x³/3 + ...
-
(3) f'(x) = 1/(1 - x)²，f''(x) = 2/(1 - x)³，f'''(x) = 6/(1 - x)⁴ f(0) = 1，f'(0) = 1，f''(0) = 2，f'''(0) = 6 1/(1 - x) = 1 + x + 2x²/2! + 6x³/3! + ... = 1 + x + x² + x³ + ...
题目 9：利用泰勒级数计算极限¶
题目：利用泰勒级数计算下列极限
(1) lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x²
(2) lim(x→0) (sin x - x + x³/6)/x⁵
(3) lim(x→0) (cos x - 1 + x²/2)/x⁴
答案： - (1) 1/2 - (2) 1/120 - (3) 1/24
解析： - (1) e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + ... e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ... (e^x - 1 - x)/x² = 1/2 + x/6 + ... lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x² = 1/2
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(2) sin x = x - x³/6 + x⁵/120 - ... sin x - x + x³/6 = x⁵/120 - ... (sin x - x + x³/6)/x⁵ = 1/120 - ... lim(x→0) (sin x - x + x³/6)/x⁵ = 1/120
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(3) cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 - ... cos x - 1 + x²/2 = x⁴/24 - ... (cos x - 1 + x²/2)/x⁴ = 1/24 - ... lim(x→0) (cos x - 1 + x²/2)/x⁴ = 1/24
题目 10：级数求和¶
题目：求下列级数的和
(1) Σ(n=1 to ∞) 1/n(n + 1)
(2) Σ(n=0 to ∞) xⁿ，|x| < 1
(3) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)/2ⁿ
答案： - (1) 1 - (2) 1/(1 - x) - (3) 1/3
解析： - (1) 1/n(n + 1) = 1/n - 1/(n + 1) 部分和：Sₙ = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n + 1)) = 1 - 1/(n + 1) 当 n→∞ 时，Sₙ → 1
-
(2) 这是首项为 1，公比为 x 的等比级数 和 = 1/(1 - x)，|x| < 1
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(3) 首项 a = 1/2，公比 r = -1/2 和 = a/(1 - r) = (1/2)/(1 - (-1/2)) = (1/2)/(3/2) = 1/3
提高题（★★★★☆）¶
题目 11：绝对收敛与条件收敛¶
题目：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散
(1) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)/√n
(2) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)·sin(1/n)
(3) Σ(n=1 to ∞) (-1)^(n+1)·(n + 1)/(n² + n)
答案： - (1) 条件收敛 - (2) 绝对收敛 - (3) 条件收敛
解析： - (1) 满足莱布尼茨判别法，收敛 但 Σ 1/√n 发散（p = 1/2 < 1） 因此条件收敛
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(2) |(-1)^(n+1)·sin(1/n)| = sin(1/n) < 1/n Σ 1/n 发散，但 sin(1/n) ~ 1/n（当 n→∞） 实际上 sin(1/n) ≤ 1/n²（当 n 充分大时） 因此 Σ |(-1)^(n+1)·sin(1/n)| 收敛，绝对收敛
-
(3) 满足莱布尼茨判别法，收敛 但 (n + 1)/(n² + n) = 1/n Σ 1/n 发散 因此条件收敛
题目 12：幂级数的和函数¶
题目：求下列幂级数的和函数，并指出收敛域
(1) Σ(n=0 to ∞) xⁿ
(2) Σ(n=1 to ∞) n·x^(n-1)
(3) Σ(n=1 to ∞) xⁿ/n
答案： - (1) S(x) = 1/(1 - x)，收敛域：|x| < 1 - (2) S(x) = 1/(1 - x)²，收敛域：|x| < 1 - (3) S(x) = -ln(1 - x)，收敛域：|x| < 1，x ≠ 1
解析： - (1) 这是等比级数，S(x) = 1/(1 - x)，|x| < 1
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(2) Σ(n=1 to ∞) n·x^(n-1) = d/dx Σ(n=1 to ∞) xⁿ = d/dx [x/(1 - x)] = d/dx [x/(1 - x)] = [1·(1 - x) - x·(-1)]/(1 - x)² = 1/(1 - x)² 收敛域：|x| < 1
-
(3) Σ(n=1 to ∞) xⁿ/n = -ln(1 - x)，|x| < 1，x ≠ 1 这是 ln(1 - x) = -Σ(n=1 to ∞) xⁿ/n 的负值
题目 13：级数的一致收敛性¶
题目：讨论级数 Σ(n=1 to ∞) xⁿ 在区间 (-1, 1) 上的一致收敛性
答案：不一致收敛
解析： 在区间 (-1, 1) 上，级数 Σ xⁿ 不一致收敛。
原因：对于任何 N，存在 x 接近 1，使得余项 Rₙ(x) = x^(n+1) + x^(n+2) + ... = x^(n+1)/(1 - x)
可以任意大（当 x 接近 1 时）。
因此，级数在 (-1, 1) 上不一致收敛。
题目 14：傅里叶级数¶
题目：将函数 f(x) = x（-π < x < π）展开为傅里叶级数
答案：f(x) = 2[sin x - sin(2x)/2 + sin(3x)/3 - ...]
解析： 由于 f(x) = x 是奇函数，aₙ = 0
bₙ = (1/π)∫[-π, π] x·sin(nx) dx = (2/π)∫[0, π] x·sin(nx) dx
使用分部积分法： ∫ x·sin(nx) dx = -x·cos(nx)/n + ∫ cos(nx)/n dx = -x·cos(nx)/n + sin(nx)/n²
bₙ = (2/π)[-x·cos(nx)/n + sin(nx)/n²]₀^π = (2/π)[-π·cos(nπ)/n + 0 - 0 + 0] = (2/π)[-π·(-1)ⁿ/n] = -2·(-1)ⁿ/n
因此 f(x) = Σ(n=1 to ∞) [-2·(-1)ⁿ/n]·sin(nx) = 2[sin x - sin(2x)/2 + sin(3x)/3 - ...]
题目 15：级数的应用¶
题目：利用级数证明 e^x = Σ(n=0 to ∞) xⁿ/n!
答案：见解析
解析： 令 f(x) = e^x
f'(x) = e^x，f''(x) = e^x，...，f⁽ⁿ⁾(x) = e^x
在 x = 0 处： f(0) = 1，f'(0) = 1，f''(0) = 1，...，f⁽ⁿ⁾(0) = 1
泰勒级数： e^x = Σ(n=0 to ∞) [f⁽ⁿ⁾(0)/n!]·xⁿ = Σ(n=0 to ∞) (1/n!)·xⁿ = Σ(n=0 to ∞) xⁿ/n!
可以证明这个级数对所有 x 都收敛于 e^x。
挑战题（★★★★★）¶
题目 16：级数的乘法¶
题目：设 Σ(n=0 to ∞) aₙ 和 Σ(n=0 to ∞) bₙ 都绝对收敛，证明它们的柯西乘积 Σ(n=0 to ∞) cₙ 也收敛，其中 cₙ = Σ(k=0 to n) a_k·b_(n-k)
答案：见解析
解析： 设 S = Σ(n=0 to ∞) aₙ，T = Σ(n=0 to ∞) bₙ
部分和：Cₙ = Σ(k=0 to n) c_k = Σ(k=0 to n) Σ(i=0 to k) a_i·b_(k-i)
可以证明 Cₙ = Σ(i=0 to n) a_i·Σ(j=0 to n-i) b_j
当 n→∞ 时，Cₙ → S·T
因此柯西乘积收敛于 S·T。
题目 17：黎曼ζ函数¶
题目：计算 ζ(2) = Σ(n=1 to ∞) 1/n²
答案：π²/6
解析： 这是一个经典的数学问题，有多种证明方法。
方法之一：利用傅里叶级数 将 f(x) = x²（-π < x < π）展开为傅里叶级数： x² = π²/3 + 4 Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ·cos(nx)/n²
令 x = π： π² = π²/3 + 4 Σ(n=1 to ∞) (-1)ⁿ·(-1)ⁿ/n² π² = π²/3 + 4 Σ(n=1 to ∞) 1/n²
解得：Σ(n=1 to ∞) 1/n² = π²/6
题目 18：级数的收敛速度¶
题目：比较级数 Σ(n=1 to ∞) 1/n² 和 Σ(n=1 to ∞) 1/2ⁿ 的收敛速度
答案：Σ 1/2ⁿ 收敛速度快得多
解析： 对于 Σ 1/n²，前 N 项的余项约为 1/N
对于 Σ 1/2ⁿ，前 N 项的余项约为 1/2^N
当 N = 10 时： - Σ 1/n² 的余项 ≈ 0.1 - Σ 1/2ⁿ 的余项 ≈ 0.001
当 N = 20 时： - Σ 1/n² 的余项 ≈ 0.05 - Σ 1/2ⁿ 的余项 ≈ 10^(-6)
显然，Σ 1/2ⁿ 的收敛速度远快于 Σ 1/n²。
题目 19：级数的阿贝尔定理¶
题目：设幂级数 Σ(n=0 to ∞) aₙxⁿ 的收敛半径为 R，且在 x = R 处收敛，证明该级数在 x = R 处左连续
答案：见解析
解析： 这是阿贝尔定理的一个特例。
设 f(x) = Σ(n=0 to ∞) aₙxⁿ，x ∈ [0, R]
由于级数在 x = R 处收敛，根据阿贝尔定理： lim(x→R⁻) f(x) = Σ(n=0 to ∞) aₙRⁿ
即 f(x) 在 x = R 处左连续。
题目 20：级数的发散性¶
题目：证明 Σ(n=1 to ∞) 1/ln(n + 1) 发散
答案：见解析
解析： 使用比较判别法。
注意到 ln(n + 1) < n（对于 n ≥ 2）
因此 1/ln(n + 1) > 1/n
由于 Σ 1/n（调和级数）发散，根据比较判别法： Σ(n=1 to ∞) 1/ln(n + 1) > Σ(n=1 to ∞) 1/n
因此 Σ 1/ln(n + 1) 发散。
章节总结¶
通过本章练习，你应该掌握：
- 数项级数
- 等比级数、p-级数
- 收敛判别法（比较、比值、根值）
-
交错级数
-
幂级数
- 收敛半径和收敛域
- 泰勒级数展开
-
幂级数的运算
-
傅里叶级数
- 傅里叶系数的计算
-
函数的傅里叶展开
-
级数的应用
- 函数近似计算
- 极限计算
-
特殊常数计算
-
收敛性理论
- 绝对收敛与条件收敛
- 一致收敛
- 级数的乘法
建议熟练掌握各种收敛判别法，这是级数理论的核心内容。
下一章练习：多元函数微积分