第三章 积分 - 练习题¶

章节说明¶

本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固积分的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。

基础题（★★☆☆☆）¶

题目 1：基本积分公式¶

题目：计算下列不定积分

(1) ∫ x⁴ dx

(2) ∫ 1/x² dx

(3) ∫ √x dx

答案： - (1) x⁵/5 + C - (2) -1/x + C - (3) (2/3)x^(3/2) + C

解析： - (1) ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + C - (2) ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C - (3) ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C

题目 2：指数与对数函数积分¶

题目：计算下列不定积分

(1) ∫ e^(3x) dx

(2) ∫ 2^x dx

(3) ∫ 1/(x + 1) dx

答案： - (1) e^(3x)/3 + C - (2) 2^x/ln2 + C - (3) ln|x + 1| + C

解析： - (1) ∫ e^(3x) dx = e^(3x)/3 + C - (2) ∫ a^x dx = a^x/ln a + C，因此 ∫ 2^x dx = 2^x/ln2 + C - (3) ∫ 1/(x + 1) dx = ln|x + 1| + C

题目 3：三角函数积分¶

题目：计算下列不定积分

(1) ∫ sin(2x) dx

(2) ∫ cos(x/2) dx

(3) ∫ sec²x dx

答案： - (1) -cos(2x)/2 + C - (2) 2sin(x/2) + C - (3) tan x + C

解析： - (1) ∫ sin(2x) dx = -cos(2x)/2 + C - (2) ∫ cos(x/2) dx = 2sin(x/2) + C - (3) ∫ sec²x dx = tan x + C

题目 4：定积分计算¶

题目：计算下列定积分

(1) ∫₀¹ x² dx

(2) ∫₀^π sin x dx

(3) ∫₁² (2x + 1) dx

答案： - (1) 1/3 - (2) 2 - (3) 4

解析： - (1) ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 - 0 = 1/3 - (2) ∫₀^π sin x dx = [-cos x]₀^π = -cos π - (-cos 0) = -(-1) - (-1) = 2 - (3) ∫₁² (2x + 1) dx = [x² + x]₁² = (4 + 2) - (1 + 1) = 6 - 2 = 4

题目 5：几何意义¶

题目：求曲线 y = x² 与 x 轴在区间 [0, 1] 上围成的面积

答案：1/3

解析： 面积 = ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3

中等题（★★★☆☆）¶

题目 6：换元积分法¶

题目：使用换元积分法计算下列不定积分

(1) ∫ (2x + 1)(x² + x)² dx

(2) ∫ x·e^(x²) dx

(3) ∫ (sin x)/cos²x dx

答案： - (1) (x² + x)³/3 + C - (2) e^(x²)/2 + C - (3) 1/cos x + C

解析： - (1) 令 u = x² + x，du = (2x + 1)dx ∫ (2x + 1)(x² + x)² dx = ∫ u² du = u³/3 + C = (x² + x)³/3 + C

• (2) 令 u = x²，du = 2xdx ∫ x·e^(x²) dx = (1/2)∫ e^u du = (1/2)e^u + C = e^(x²)/2 + C

• (3) 令 u = cos x，du = -sin x dx ∫ (sin x)/cos²x dx = -∫ 1/u² du = 1/u + C = 1/cos x + C

题目 7：分部积分法¶

题目：使用分部积分法计算下列不定积分

(1) ∫ x·sin x dx

(2) ∫ x·e^x dx

(3) ∫ ln x dx

答案： - (1) -x·cos x + sin x + C - (2) (x - 1)e^x + C - (3) x·ln x - x + C

解析： - (1) 设 u = x，dv = sin x dx 则 du = dx，v = -cos x ∫ x·sin x dx = -x·cos x + ∫ cos x dx = -x·cos x + sin x + C

• (2) 设 u = x，dv = e^x dx 则 du = dx，v = e^x ∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx = x·e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C

• (3) 设 u = ln x，dv = dx 则 du = 1/x dx，v = x ∫ ln x dx = x·ln x - ∫ x·(1/x) dx = x·ln x - ∫ dx = x·ln x - x + C

题目 8：奇偶函数积分¶

题目：利用奇偶函数的性质计算下列定积分

(1) ∫_{-1}^{1} x³ dx

(2) ∫_{-π}^{π} cos x dx

(3) ∫_{-2}^{2} (x⁴ + x²) dx

答案： - (1) 0 - (2) 0 - (3) 64/5

解析： - (1) x³ 是奇函数，在对称区间上的积分为 0 - (2) cos x 是偶函数，∫{-π}^{π} cos x dx = 2∫₀^π cos x dx = 2[sin x]₀^π = 0 - (3) x⁴ + x² 是偶函数 ∫ (x⁴ + x²) dx = 2∫₀² (x⁴ + x²) dx = 2[x⁵/5 + x³/3]₀² = 2(32/5 + 8/3) = 2(96/15 + 40/15) = 2(136/15) = 272/15}^{2

修正：原答案有误，重新计算 2∫₀² (x⁴ + x²) dx = 2[2⁵/5 + 2³/3] = 2[32/5 + 8/3] = 2[(96 + 40)/15] = 2(136/15) = 272/15

题目 9：变上限积分求导¶

题目：求下列函数的导数

(1) F(x) = ∫₀ˣ sin t dt

(2) F(x) = ∫₁ˣ² e^t dt

(3) F(x) = ∫_x^{2x} cos t dt

答案： - (1) F'(x) = sin x - (2) F'(x) = 2x·e^(x²) - (3) F'(x) = 2cos(2x) - cos x

解析： - (1) 由牛顿-莱布尼茨公式，F'(x) = sin x

• (2) F(x) = ∫₁ˣ² e^t dt F'(x) = e^(x²)·(x²)' = 2x·e^(x²)

• (3) F(x) = ∫_x^{2x} cos t dt = ∫₀^{2x} cos t dt - ∫₀^x cos t dt F'(x) = cos(2x)·(2x)' - cos x·(x)' = 2cos(2x) - cos x

题目 10：广义积分¶

题目：计算下列广义积分（如果收敛）

(1) ∫₁^∞ 1/x² dx

(2) ∫₀¹ 1/√x dx

(3) ∫₀^∞ e^(-x) dx

答案： - (1) 1 - (2) 2 - (3) 1

解析： - (1) ∫₁^∞ 1/x² dx = lim(b→∞) ∫₁ᵇ x⁻² dx = lim(b→∞)[-1/x]₁ᵇ = lim(b→∞)(-1/b + 1) = 1

• (2) ∫₀¹ 1/√x dx = lim(a→0⁺) ∫ₐ¹ x^(-1/2) dx = lim(a→0⁺)[2√x]ₐ¹ = lim(a→0⁺)(2 - 2√a) = 2

• (3) ∫₀^∞ e^(-x) dx = lim(b→∞) ∫₀ᵇ e^(-x) dx = lim(b→∞)[-e^(-x)]₀ᵇ = lim(b→∞)(-e^(-b) + 1) = 1

提高题（★★★★☆）¶

题目 11：三角恒等式积分¶

题目：计算下列不定积分

(1) ∫ sin²x dx

(2) ∫ cos³x dx

(3) ∫ tan²x dx

答案： - (1) x/2 - sin(2x)/4 + C - (2) sin x - sin³x/3 + C - (3) tan x - x + C

解析： - (1) sin²x = (1 - cos 2x)/2 ∫ sin²x dx = ∫ (1 - cos 2x)/2 dx = x/2 - sin(2x)/4 + C

• (2) cos³x = cos x·(1 - sin²x) 令 u = sin x，du = cos x dx ∫ cos³x dx = ∫ cos x·(1 - sin²x) dx = ∫ (1 - u²) du = u - u³/3 + C = sin x - sin³x/3 + C

• (3) tan²x = sec²x - 1 ∫ tan²x dx = ∫ (sec²x - 1) dx = tan x - x + C

题目 12：有理函数积分¶

题目：计算下列不定积分

(1) ∫ (x + 1)/(x² + 2x + 2) dx

(2) ∫ (2x + 3)/(x² + x - 6) dx

(3) ∫ 1/(x² + 1) dx

答案： - (1) (1/2)ln(x² + 2x + 2) + C - (2) (7/5)ln|x - 2| + (3/5)ln|x + 3| + C - (3) arctan x + C

解析： - (1) 令 u = x² + 2x + 2，du = (2x + 2)dx ∫ (x + 1)/(x² + 2x + 2) dx = (1/2)∫ (2x + 2)/(x² + 2x + 2) dx = (1/2)∫ du/u = (1/2)ln|u| + C = (1/2)ln(x² + 2x + 2) + C

• (2) x² + x - 6 = (x - 2)(x + 3) 使用部分分式：(2x + 3)/(x - 2)(x + 3) = A/(x - 2) + B/(x + 3) 解得 A = 7/5，B = 3/5 ∫ (2x + 3)/(x² + x - 6) dx = (7/5)∫ 1/(x - 2) dx + (3/5)∫ 1/(x + 3) dx = (7/5)ln|x - 2| + (3/5)ln|x + 3| + C

• (3) ∫ 1/(x² + 1) dx = arctan x + C

题目 13：面积计算¶

题目：求曲线 y = x² 与 y = x 之间的面积

答案：1/6

解析： 找到交点：x² = x，解得 x = 0 或 x = 1 在 [0, 1] 上，x > x² 面积 = ∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

题目 14：体积计算¶

题目：求 y = x² 绕 x 轴旋转一周在 [0, 1] 上形成的旋转体体积

答案：π/5

解析： V = π∫₀¹ (x²)² dx = π∫₀¹ x⁴ dx = π[x⁵/5]₀¹ = π/5

题目 15：弧长计算¶

题目：求曲线 y = x² 在 [0, 1] 上的弧长

答案：[√5 + ln(2 + √5)]/4

解析： y' = 2x L = ∫₀¹ √(1 + 4x²) dx 令 x = (1/2)tan θ，dx = (1/2)sec²θ dθ 当 x = 0 时，θ = 0；当 x = 1 时，θ = arctan 2

L = (1/2)∫₀^(arctan 2) sec³θ dθ

使用公式 ∫ sec³θ dθ = (1/2)(sec θ tan θ + ln|sec θ + tan θ|)

当 θ = 0 时：sec 0 = 1，tan 0 = 0 当 θ = arctan 2 时：sec θ = √5，tan θ = 2

L = (1/4)[sec θ tan θ + ln(sec θ + tan θ)]₀^(arctan 2) = (1/4)[(√5 · 2 + ln(√5 + 2)) - (1 · 0 + ln 1)] = (1/4)[2√5 + ln(√5 + 2)]

挑战题（★★★★★）¶

题目 16：积分不等式¶

题目：证明：∫₀^π sinⁿx dx ≥ ∫₀^π sin^(n+1)x dx（n ≥ 1）

答案：见解析

解析： 对于 x ∈ (0, π)，有 0 < sin x < 1

由于 n ≥ 1，有 sinⁿx ≥ sin^(n+1)x

因此 ∫₀^π sinⁿx dx ≥ ∫₀^π sin^(n+1)x dx

题目 17：积分与极限¶

题目：计算 lim(n→∞) ∫₀¹ xⁿ f(x) dx，其中 f(x) 在 [0, 1] 上连续

答案：0

解析： 由于 f(x) 在 [0, 1] 上连续，f(x) 在 [0, 1] 上有界，即存在 M > 0，使得 |f(x)| ≤ M

|∫₀¹ xⁿ f(x) dx| ≤ ∫₀¹ xⁿ |f(x)| dx ≤ M∫₀¹ xⁿ dx = M/(n + 1)

当 n→∞ 时，M/(n + 1) → 0

因此 lim(n→∞) ∫₀¹ xⁿ f(x) dx = 0

题目 18：积分方程¶

题目：设 f(x) 连续，且满足 f(x) = 1 + ∫₀ˣ f(t) dt，求 f(x)

答案：f(x) = e^x

解析： 对两边求导：f'(x) = f(x)

解微分方程：f'(x) = f(x)，f(0) = 1 得 f(x) = e^x

题目 19：变限积分的性质¶

题目：设 F(x) = ∫₀ˣ t·f(t) dt，其中 f(x) 连续且 f(0) = 0，求 F'(0)

答案：0

解析： F'(x) = x·f(x)

F'(0) = 0·f(0) = 0

题目 20：积分证明题¶

题目：证明：∫₀^π x·sin x dx = π

答案：见解析

解析： 使用分部积分法： 设 u = x，dv = sin x dx 则 du = dx，v = -cos x

∫₀^π x·sin x dx = [-x·cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = (-π·cos π + 0) + [sin x]₀^π = (-π·(-1)) + (sin π - sin 0) = π + 0 = π

章节总结¶

通过本章练习，你应该掌握：

1. 基本积分公式
2. 幂函数、指数函数、对数函数

3. 三角函数、反三角函数

4. 积分技巧

5. 换元积分法
6. 分部积分法

7. 部分分式分解

8. 定积分的计算

9. 牛顿-莱布尼茨公式
10. 奇偶函数性质

11. 周期函数性质

12. 积分的应用

13. 求面积
14. 求体积

15. 求弧长

16. 广义积分

17. 无穷积分

18. 瑕积分

19. 变限积分

20. 变上限积分求导
21. 积分方程求解

建议熟练掌握基本积分公式和积分技巧，多做练习提高计算能力。

下一章练习：级数