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第二章 导数与微分 - 练习题

章节说明

本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固导数与微分的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。

基础题（★★☆☆☆）

题目 1：基本函数求导

题目：求下列函数的导数

(1) f(x) = x⁵

(2) f(x) = 1/x³

(3) f(x) = √x

答案： - (1) f'(x) = 5x⁴ - (2) f'(x) = -3/x⁴ - (3) f'(x) = 1/(2√x)

解析： - (1) 使用幂函数求导公式：(x⁵)' = 5x⁴ - (2) (x⁻³)' = -3x⁻⁴ = -3/x⁴ - (3) (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)

题目 2：三角函数求导

题目：求下列函数的导数

(1) f(x) = sin(2x)

(2) f(x) = cos(x²)

(3) f(x) = tan(x/2)

答案： - (1) f'(x) = 2cos(2x) - (2) f'(x) = -2x·sin(x²) - (3) f'(x) = (1/2)sec²(x/2)

解析： - (1) 使用链式法则：(sin(2x))' = cos(2x)·(2x)' = 2cos(2x) - (2) (cos(x²))' = -sin(x²)·(x²)' = -2x·sin(x²) - (3) (tan(x/2))' = sec²(x/2)·(x/2)' = (1/2)sec²(x/2)

题目 3：指数与对数函数求导

题目：求下列函数的导数

(1) f(x) = e^(3x)

(2) f(x) = 2^x

(3) f(x) = ln(x² + 1)

答案： - (1) f'(x) = 3e^(3x) - (2) f'(x) = 2^x·ln2 - (3) f'(x) = 2x/(x² + 1)

解析： - (1) (e^(3x))' = e^(3x)·(3x)' = 3e^(3x) - (2) (a^x)' = a^x·ln a，因此 (2^x)' = 2^x·ln2 - (3) (ln(x² + 1))' = 1/(x² + 1)·(x² + 1)' = 2x/(x² + 1)

题目 4：使用求导法则

题目：使用乘积法则或商法则求下列函数的导数

(1) f(x) = x²·sin x

(2) f(x) = (x + 1)/(x - 1)

(3) f(x) = x·e^x

答案： - (1) f'(x) = 2x·sin x + x²·cos x - (2) f'(x) = -2/(x - 1)² - (3) f'(x) = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x

解析： - (1) 乘积法则：(x²·sin x)' = (x²)'·sin x + x²·(sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x - (2) 商法则：((x+1)/(x-1))' = [(x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)']/(x-1)² = [(x-1) - (x+1)]/(x-1)² = -2/(x-1)² - (3) 乘积法则：(x·e^x)' = (x)'·e^x + x·(e^x)' = e^x + x·e^x = (x + 1)e^x

题目 5：切线方程

题目：求曲线 y = x² 在点 (1, 1) 处的切线方程

答案：y = 2x - 1

解析： f'(x) = 2x，f'(1) = 2（切线斜率） 切线方程：y - 1 = 2(x - 1) 整理得：y = 2x - 1

中等题（★★★☆☆）

题目 6：复合函数求导

题目：求下列函数的导数

(1) f(x) = sin(e^x)

(2) f(x) = ln(sin x)

(3) f(x) = (x² + 1)³

答案： - (1) f'(x) = e^x·cos(e^x) - (2) f'(x) = cos x/sin x = cot x - (3) f'(x) = 6x(x² + 1)²

解析： - (1) 链式法则：f'(x) = cos(e^x)·(e^x)' = e^x·cos(e^x) - (2) 链式法则：f'(x) = 1/sin x·(sin x)' = cos x/sin x = cot x - (3) 链式法则：f'(x) = 3(x² + 1)²·(x² + 1)' = 3(x² + 1)²·2x = 6x(x² + 1)²

题目 7：隐函数求导

题目：求由下列方程确定的隐函数的导数 dy/dx

(1) x² + y² = 1

(2) e^y + xy - e = 0

(3) x³ + y³ - 3xy = 0

答案： - (1) dy/dx = -x/y - (2) dy/dx = -y/(e^y + x) - (3) dy/dx = (y - x²)/(y² - x)

解析： - (1) 对 x 求导：2x + 2y·dy/dx = 0，解得 dy/dx = -x/y - (2) 对 x 求导：e^y·dy/dx + y + x·dy/dx = 0 (e^y + x)·dy/dx = -y dy/dx = -y/(e^y + x) - (3) 对 x 求导：3x² + 3y²·dy/dx - 3y - 3x·dy/dx = 0 (3y² - 3x)·dy/dx = 3y - 3x² dy/dx = (y - x²)/(y² - x)

题目 8：高阶导数

题目：求下列函数的二阶导数

(1) f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1

(2) f(x) = e^(-x)

(3) f(x) = sin x

答案： - (1) f''(x) = 6x - 4 - (2) f''(x) = e^(-x) - (3) f''(x) = -sin x

解析： - (1) f'(x) = 3x² - 4x + 3，f''(x) = 6x - 4 - (2) f'(x) = -e^(-x)，f''(x) = e^(-x) - (3) f'(x) = cos x，f''(x) = -sin x

题目 9：反函数求导

题目：求下列反函数的导数

(1) y = arcsin x

(2) y = arccos x

(3) y = arctan x

答案： - (1) y' = 1/√(1 - x²) - (2) y' = -1/√(1 - x²) - (3) y' = 1/(1 + x²)

解析： - (1) 由 sin y = x，对 x 求导得 cos y·y' = 1 y' = 1/cos y = 1/√(1 - sin²y) = 1/√(1 - x²) - (2) 由 cos y = x，对 x 求导得 -sin y·y' = 1 y' = -1/sin y = -1/√(1 - cos²y) = -1/√(1 - x²) - (3) 由 tan y = x，对 x 求导得 sec²y·y' = 1 y' = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²)

题目 10：参数方程求导

题目：求由参数方程确定的函数的导数 dy/dx

(1) x = t²，y = 2t

(2) x = cos t，y = sin t

(3) x = e^t，y = t²

答案： - (1) dy/dx = 1/t - (2) dy/dx = -cot t - (3) dy/dx = 2t/e^t

解析： - (1) dx/dt = 2t，dy/dt = 2 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 2/(2t) = 1/t - (2) dx/dt = -sin t，dy/dt = cos t dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = cos t/(-sin t) = -cot t - (3) dx/dt = e^t，dy/dt = 2t dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 2t/e^t

提高题（★★★★☆）

题目 11：对数求导法

题目：使用对数求导法求下列函数的导数

(1) y = x^x

(2) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

(3) y = x^(sin x)

答案： - (1) y' = x^x(1 + ln x) - (2) y' = (x + 1)(x + 2)(x + 3)[1/(x + 1) + 1/(x + 2) + 1/(x + 3)] - (3) y' = x^(sin x)[cos x·ln x + (sin x)/x]

解析： - (1) ln y = x·ln x 对 x 求导：(1/y)·y' = ln x + 1 y' = y(ln x + 1) = x^x(1 + ln x)

  • (2) ln y = ln(x + 1) + ln(x + 2) + ln(x + 3) 对 x 求导：(1/y)·y' = 1/(x + 1) + 1/(x + 2) + 1/(x + 3) y' = y[1/(x + 1) + 1/(x + 2) + 1/(x + 3)] = (x + 1)(x + 2)(x + 3)[1/(x + 1) + 1/(x + 2) + 1/(x + 3)]

  • (3) ln y = sin x·ln x 对 x 求导：(1/y)·y' = cos x·ln x + sin x·(1/x) y' = y[cos x·ln x + (sin x)/x] = x^(sin x)[cos x·ln x + (sin x)/x]

题目 12：微分应用

题目：求下列函数的微分 dy

(1) y = x³ + 2x² - x + 1

(2) y = sin(x + 1)

(3) y = e^(x²)

答案： - (1) dy = (3x² + 4x - 1)dx - (2) dy = cos(x + 1)dx - (3) dy = 2xe^(x²)dx

解析： - (1) dy = y'dx = (3x² + 4x - 1)dx - (2) dy = y'dx = cos(x + 1)·(x + 1)'dx = cos(x + 1)dx - (3) dy = y'dx = 2x·e^(x²)dx

题目 13：导数存在性

题目：讨论函数 f(x) = |x| 在 x = 0 处的可导性

答案：不可导

解析： f(x) = |x| = {x, x ≥ 0; -x, x < 0}

左导数：f'-(0) = lim(h→0⁻) [f(0+h) - f(0)]/h = lim(h→0⁻) (-h)/h = -1 右导数：f'+(0) = lim(h→0⁺) [f(0+h) - f(0)]/h = lim(h→0⁺) h/h = 1

由于左导数 ≠ 右导数，因此 f(x) 在 x = 0 处不可导。

题目 14：高阶导数公式

题目：求 f(x) = sin x 的 n 阶导数 f⁽ⁿ⁾(x)

答案：f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + nπ/2)

解析： f'(x) = cos x = sin(x + π/2) f''(x) = -sin x = sin(x + π) f'''(x) = -cos x = sin(x + 3π/2) f⁽⁴⁾(x) = sin x = sin(x + 2π)

归纳得：f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + nπ/2)

题目 15：导数与极值

题目：求函数 f(x) = x³ - 3x² + 2 的极值

答案： 极大值点：x = 0，极大值 f(0) = 2 极小值点：x = 2，极小值 f(2) = -2

解析： f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

令 f'(x) = 0，得 x = 0 或 x = 2

f''(x) = 6x - 6

f''(0) = -6 < 0，因此 x = 0 是极大值点 f''(2) = 6 > 0，因此 x = 2 是极小值点

挑战题（★★★★★）

题目 16：导数证明题

题目：证明：若函数 f(x) 在 x = a 处可导，则 f(x) 在 x = a 处连续

答案：见解析

解析： 由于 f(x) 在 x = a 处可导，有： f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) - f(a)]/h

考虑 lim(h→0) [f(a + h) - f(a)]： lim(h→0) [f(a + h) - f(a)] = lim(h→0) h·[f(a + h) - f(a)]/h = lim(h→0) h·lim(h→0) [f(a + h) - f(a)]/h = 0·f'(a) = 0

因此 lim(h→0) f(a + h) = f(a)，即 f(x) 在 x = a 处连续。

题目 17：导数与不等式

题目：证明：对于 x > 0，有 ln(1 + x) < x

答案：见解析

解析： 设 f(x) = x - ln(1 + x)，x > 0

f'(x) = 1 - 1/(1 + x) = x/(1 + x) > 0（当 x > 0）

因此 f(x) 在 x > 0 时单调递增。

f(0) = 0 - ln 1 = 0

对于 x > 0，f(x) > f(0) = 0

即 x - ln(1 + x) > 0，ln(1 + x) < x

题目 18：复合函数高阶导数

题目：设 y = f(x²)，求 dy/dx 和 d²y/dx²

答案： dy/dx = 2x·f'(x²) d²y/dx² = 2f'(x²) + 4x²·f''(x²)

解析： dy/dx = f'(x²)·(x²)' = f'(x²)·2x = 2x·f'(x²)

d²y/dx² = [2x·f'(x²)]' = 2·f'(x²) + 2x·[f'(x²)]' = 2f'(x²) + 2x·f''(x²)·(x²)' = 2f'(x²) + 2x·f''(x²)·2x = 2f'(x²) + 4x²·f''(x²)

题目 19：导数与最值

题目：设函数 f(x) = x + 1/x（x > 0），求其最小值

答案：最小值为 2，在 x = 1 处取得

解析： f'(x) = 1 - 1/x²

令 f'(x) = 0，得 x = 1（x > 0）

f''(x) = 2/x² > 0（x > 0）

因此 x = 1 是极小值点，也是最小值点。

最小值 f(1) = 1 + 1 = 2

题目 20：导数与函数方程

题目：设函数 f(x) 满足 f(x + y) = f(x)·f(y)，且 f(x) 可导，f'(0) = 1，求 f(x)

答案：f(x) = e^x

解析： 令 y = 0，得 f(x) = f(x)·f(0)，因此 f(0) = 1

对 y 求导：f'(x + y) = f(x)·f'(y)

令 y = 0，得 f'(x) = f(x)·f'(0) = f(x)

解微分方程 f'(x) = f(x)，f(0) = 1 得 f(x) = e^x

章节总结

通过本章练习，你应该掌握：

  1. 基本求导公式
  2. 幂函数、指数函数、对数函数

  3. 三角函数、反三角函数

  4. 求导法则

  5. 常数法则、和差法则
  6. 乘积法则、商法则

  7. 链式法则（复合函数）

  8. 特殊求导方法

  9. 隐函数求导
  10. 参数方程求导

  11. 对数求导法

  12. 导数的应用

  13. 切线方程
  14. 极值与最值

  15. 函数的单调性

  16. 高阶导数

  17. 二阶导数的计算
  18. n 阶导数的公式

建议熟练掌握基本求导公式和法则，这是解决复杂问题的基础。

下一章练习：积分