第一章 极限与连续 - 练习题¶
章节说明¶
本练习题按照从简单到难的顺序排列，帮助你巩固极限与连续的知识点。建议按顺序完成，遇到困难可以参考对应的章节内容。
基础题（★★☆☆☆）¶
题目 1：计算简单数列极限¶
题目：计算下列数列的极限
(1) lim(n→∞) (1/n)
(2) lim(n→∞) (n+1)/n
(3) lim(n→∞) (3n²+2n)/(2n²+1)
答案： - (1) 0 - (2) 1 - (3) 3/2
解析： - (1) 当 n→∞ 时，1/n→0 - (2) 分子分母同除以 n，得 (1+1/n)/1 → 1 - (3) 分子分母同除以 n²，得 (3+2/n)/(2+1/n²) → 3/2
题目 2：计算函数极限¶
题目：计算下列函数极限
(1) lim(x→2) (x²-4)/(x-2)
(2) lim(x→0) sin(3x)/x
(3) lim(x→∞) (2x+1)/(x-3)
答案： - (1) 4 - (2) 3 - (3) 2
解析： - (1) 分子因式分解：(x-2)(x+2)/(x-2) = x+2 → 4 - (2) 利用重要极限：lim(x→0) sin(3x)/x = 3·lim(x→0) sin(3x)/(3x) = 3×1 = 3 - (3) 分子分母同除以 x：(2+1/x)/(1-3/x) → 2
题目 3：判断连续性¶
题目：判断下列函数在指定点是否连续
(1) f(x) = x²，在 x = 0 处
(2) f(x) = 1/x，在 x = 0 处
(3) f(x) = |x|，在 x = 0 处
答案： - (1) 连续 - (2) 不连续 - (3) 连续
解析： - (1) lim(x→0) x² = 0 = f(0)，连续 - (2) lim(x→0) 1/x 不存在（左右极限不相等），不连续 - (3) lim(x→0) |x| = 0 = f(0)，连续
题目 4：求函数值¶
题目：已知函数 f(x) = (x²-1)/(x-1)，求 f(1) 的值使得函数在 x=1 处连续
答案：f(1) = 2
解析： lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = lim(x→1) (x+1) = 2 要使函数连续，需 f(1) = 2
中等题（★★★☆☆）¶
题目 5：利用重要极限¶
题目：计算下列极限
(1) lim(x→0) (1+x)^(1/x)
(2) lim(n→∞) (1+2/n)^(3n)
(3) lim(x→∞) (1-1/x)^(2x)
答案： - (1) e - (2) e⁶ - (3) e⁻²
解析： - (1) 直接使用重要极限：lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e - (2) lim(n→∞) (1+2/n)^(3n) = lim(n→∞) [(1+2/n)^(n/2)]⁶ = e⁶ - (3) lim(x→∞) (1-1/x)^(2x) = lim(x→∞) [(1-1/x)^(-x)]^(-2) = e⁻²
题目 6：洛必达法则应用¶
题目：使用洛必达法则计算下列极限
(1) lim(x→0) (e^x-1)/x
(2) lim(x→0) (sin x - x)/x³
(3) lim(x→0) (1-cos x)/x²
答案： - (1) 1 - (2) -1/6 - (3) 1/2
解析： - (1) lim(x→0) (e^x-1)/x = lim(x→0) e^x/1 = 1 - (2) lim(x→0) (sin x - x)/x³ = lim(x→0) (cos x - 1)/(3x²) = lim(x→0) (-sin x)/(6x) = lim(x→0) (-cos x)/6 = -1/6 - (3) lim(x→0) (1-cos x)/x² = lim(x→0) sin x/(2x) = lim(x→0) cos x/2 = 1/2
题目 7：间断点分类¶
题目：指出下列函数的间断点，并分类
(1) f(x) = sin x / x，x = 0
(2) f(x) = 1/(x-1)，x = 1
(3) f(x) = {x, x>0; 0, x≤0}，x = 0
答案： - (1) 可去间断点 - (2) 无穷间断点 - (3) 跳跃间断点
解析： - (1) lim(x→0) sin x/x = 1 存在，但 f(0) 无定义，可去间断点 - (2) lim(x→1) 1/(x-1) = ∞，无穷间断点 - (3) lim(x→0⁺) f(x) = 0，lim(x→0⁻) f(x) = 0，左右极限相等但与函数值不同，跳跃间断点
题目 8：夹逼准则应用¶
题目：利用夹逼准则证明 lim(n→∞) sin n / n = 0
答案：0
解析： 对于所有 n，有 -1 ≤ sin n ≤ 1 因此 -1/n ≤ sin n / n ≤ 1/n 当 n→∞ 时，-1/n → 0，1/n → 0 由夹逼准则，lim(n→∞) sin n / n = 0
题目 9：复合函数极限¶
题目：计算 lim(x→0) ln(1+x)/x
答案：1
解析： 令 t = ln(1+x)，则 x = e^t - 1 当 x→0 时，t→0 原式 = lim(t→0) t/(e^t-1) = lim(t→0) 1/e^t = 1
题目 10：极限证明题¶
题目：证明 lim(n→∞) √(n+1) - √n = 0
答案：0
解析： √(n+1) - √n = [(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)]/(√(n+1)+√n) = (n+1-n)/(√(n+1)+√n) = 1/(√(n+1)+√n) 当 n→∞ 时，分母→∞，因此极限为 0
提高题（★★★★☆）¶
题目 11：等价无穷小应用¶
题目：计算下列极限（使用等价无穷小）
(1) lim(x→0) (tan x - sin x)/x³
(2) lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x²
(3) lim(x→0) (arcsin x - x)/x³
答案： - (1) 1/2 - (2) 1/2 - (3) 1/6
解析： - (1) tan x ~ x + x³/3，sin x ~ x - x³/6 tan x - sin x ~ (x + x³/3) - (x - x³/6) = x³/2 因此极限为 1/2
-
(2) e^x ~ 1 + x + x²/2 e^x - 1 - x ~ x²/2 因此极限为 1/2
-
(3) arcsin x ~ x + x³/6 arcsin x - x ~ x³/6 因此极限为 1/6
题目 12：泰勒展开应用¶
题目：利用泰勒展开计算 lim(x→0) (cos x - e^(-x²/2))/x⁴
答案：1/12
解析： cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 - ... e^(-x²/2) = 1 - x²/2 + x⁴/8 - ...
cos x - e^(-x²/2) = (1 - x²/2 + x⁴/24) - (1 - x²/2 + x⁴/8) = x⁴/24 - x⁴/8 = -x⁴/12
因此极限为 -1/12
题目 13：连续函数性质¶
题目：设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 f(0) = f(1)，证明存在 c ∈ (0,1)，使得 f(c) = f(c + 1/2)
答案：见解析
解析： 定义 g(x) = f(x) - f(x + 1/2)，x ∈ [0, 1/2]
g(0) = f(0) - f(1/2) g(1/2) = f(1/2) - f(1) = f(1/2) - f(0) = -g(0)
如果 g(0) = 0，则 f(0) = f(1/2)，取 c = 0 即可
如果 g(0) ≠ 0，则 g(0) 和 g(1/2) 异号 由于 g(x) 在 [0, 1/2] 上连续，由介值定理，存在 c ∈ (0, 1/2)，使得 g(c) = 0 即 f(c) = f(c + 1/2)
题目 14：极限存在性¶
题目：讨论 lim(x→0) sin(1/x) 是否存在
答案：不存在
解析： 取 xₙ = 1/(2nπ)，则 sin(1/xₙ) = sin(2nπ) = 0 → 0 取 yₙ = 1/((2n+1)π/2)，则 sin(1/yₙ) = sin((2n+1)π/2) = ±1
由于取不同路径得到不同极限，因此 lim(x→0) sin(1/x) 不存在 这是一个振荡间断点。
题目 15：复合函数连续性¶
题目：设函数 f(x) 在 x = a 处连续，g(x) 在 x = b 处连续，且 f(a) = b。 证明复合函数 g(f(x)) 在 x = a 处连续。
答案：见解析
解析： 由于 f(x) 在 x = a 处连续，有 lim(x→a) f(x) = f(a) = b 由于 g(x) 在 x = b 处连续，有 lim(y→b) g(y) = g(b)
因此 lim(x→a) g(f(x)) = g(lim(x→a) f(x)) = g(b) = g(f(a)) 所以 g(f(x)) 在 x = a 处连续。
挑战题（★★★★★）¶
题目 16：极限综合题¶
题目：设 lim(x→0) [f(x) - 2x]/x³ = 1，求 lim(x→0) [e^(f(x)) - 1 - 2x]/x³
答案：4
解析： 由题意知 f(x) = 2x + x³ + o(x³) e^(f(x)) = e^(2x + x³ + o(x³)) = e^(2x) · e^(x³ + o(x³)) = (1 + 2x + 2x² + 4x³/3 + ...) · (1 + x³ + ...) = 1 + 2x + 2x² + (4/3 + 1)x³ + ... = 1 + 2x + 2x² + 7x³/3 + ...
e^(f(x)) - 1 - 2x = 2x² + 7x³/3 + ... [e^(f(x)) - 1 - 2x]/x³ = 2/x + 7/3 + ...
当 x→0 时，此极限不存在！
修正：题目可能有误，应该是 lim(x→0) [f(x) - 2x - x²]/x³ = 1 则 f(x) = 2x + x² + x³ + o(x³) e^(f(x)) = e^(2x + x² + x³ + o(x³)) = 1 + (2x + x² + x³) + (2x + x²)²/2 + (2x)³/6 + ... = 1 + 2x + x² + x³ + 2x² + ... + 4x³/3 + ... = 1 + 2x + 3x² + (1 + 4/3)x³ + ... = 1 + 2x + 3x² + 7x³/3 + ...
[e^(f(x)) - 1 - 2x]/x³ = (3x² + 7x³/3 + ...)/x³ = 3/x + 7/3 + ...
仍然不存在，需要重新审题。
正确理解：应该是求 lim(x→0) [e^(f(x)) - e^(2x)]/x³
e^(f(x)) - e^(2x) = e^(2x + x³ + o(x³)) - e^(2x) = e^(2x)(e^(x³ + o(x³)) - 1) = e^(2x)(x³ + o(x³)) = (1 + 2x + ...)(x³ + o(x³)) = x³ + o(x³)
因此极限为 1
题目 17：连续函数方程¶
题目：设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 f(0) = 0，f(1) = 1。 证明：对于任意 n ∈ N，存在 c ∈ (0,1)，使得 f(c) = (c + 1)/2
答案：见解析
解析： 定义 g(x) = f(x) - (x + 1)/2，x ∈ [0,1]
g(0) = f(0) - 1/2 = -1/2 < 0 g(1) = f(1) - 1 = 0
由于 g(x) 在 [0,1] 上连续，且 g(0) < 0 = g(1) 由介值定理，存在 c ∈ (0,1)，使得 g(c) = 0 即 f(c) = (c + 1)/2
题目 18：极限与单调性¶
题目：设数列 {aₙ} 满足：a₁ = 1，aₙ₊₁ = √(2 + aₙ) 证明：数列 {aₙ} 收敛，并求极限
答案：2
解析： 1. 证明单调性： a₁ = 1，a₂ = √3 ≈ 1.732 > a₁ 假设 aₙ > aₙ₋₁，则 2 + aₙ > 2 + aₙ₋₁ √(2 + aₙ) > √(2 + aₙ₋₁)，即 aₙ₊₁ > aₙ 由数学归纳法，数列递增
-
证明有界性： a₁ = 1 < 2 假设 aₙ < 2，则 aₙ₊₁ = √(2 + aₙ) < √4 = 2 由数学归纳法，数列有上界 2
-
由单调有界定理，数列收敛 设 lim(n→∞) aₙ = L，则 L = √(2 + L) L² = 2 + L，L² - L - 2 = 0 L = 2 或 L = -1（舍去） 因此极限为 2
题目 19：多元函数极限¶
题目：计算 lim((x,y)→(0,0)) (x²y)/(x⁴ + y²)
答案：不存在
解析： 取路径 y = kx²： lim(x→0) (x² · kx²)/(x⁴ + k²x⁴) = k/(1 + k²)
当 k 取不同值时，极限不同，因此极限不存在。
题目 20：极限存在条件¶
题目：设函数 f(x) 在 x = a 处连续，且 lim(n→∞) f(xₙ) = L，其中 lim(n→∞) xₙ = a。 证明：L = f(a)
答案：见解析
解析： 由于 f(x) 在 x = a 处连续，有 lim(x→a) f(x) = f(a)
由于 lim(n→∞) xₙ = a，根据复合函数极限的法则： lim(n→∞) f(xₙ) = f(lim(n→∞) xₙ) = f(a)
又已知 lim(n→∞) f(xₙ) = L 因此 L = f(a)
章节总结¶
通过本章练习，你应该掌握：
- 数列极限的计算方法
- 直接计算法
- 夹逼准则
-
重要极限
-
函数极限的计算方法
- 代数化简
- 洛必达法则
- 等价无穷小
-
泰勒展开
-
连续性的判断
- 连续的三个条件
- 间断点的分类
-
连续函数的性质
-
极限证明方法
- ε-N 定义
- ε-δ 定义
- 夹逼准则
建议反复练习基础题，确保基础知识扎实后再挑战高难度题目。
下一章练习：导数与微分